第一章 教考衔接(1)——空间直角坐标系的构建策略-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教B版(教师用书)

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 zxX kc on 您身边的互联网 +教辅专家 #教考衔接(1)—空间直角坐标系的构建策略 一、真题展示 (2022新高考全国卷1)(12分)如图，直三棱柱 $$A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$$ 的体积为 $$4 ， \triangle { A _ { 1 } } B C$$ 的面积 为22. A $$C _ { 1 }$$ $$\wideparen { B _ { 1 } }$$ D A c B (1)求A到平面 $$A _ { 1 } B C$$ 的距离； (2)设D为 $$A _ { 1 } C$$ 的中点， $$A A _ { 1 } = A B ，$$ $$A _ { 1 } B C \bot$$ 平面 $$A B B _ { 1 } A _ { 1 } ，$$ ，求二面角 A-BD-C 的正弦 值 二、真题溯源 (教科书第60页习题1-2B第4题)如图所示，直三棱柱 $$A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$$ 中， AC⊥BC， ，点M 在线段AB上， $$A C = B C = C C _ { 1 } = 3 ， A M = 2 ，$$ ，求直线 $$A C _ { 1 }$$ 与平面 $$B _ { 1 } M C$$ 所成角的正弦值. $$C _ { 1 }$$ $$B _ { 1 }$$ $$A _ { 1 }$$ B A M 三、解法探究 利用空间向量的方法解决立体几何中空间元素的位置关系、空间角、空间距离等问题， 关键是依托图形建立适当空间直角坐标系，将直线的方向向量、平面的法向量用坐标表示， 通过向量运算完成.如何建立空间直角坐标系，写出点的坐标是前提，下面主要介绍空间直 角坐标系建系的几种方法 类型一利用共顶点三条垂直棱建系 例 如图，已知矩形 $$B B _ { 1 } C _ { 1 } C$$ 所在平面与平面 $$A B B _ { 1 } N$$ 垂直，在直角梯形 $$A B B _ { 1 } N$$ 中， $$A N \parallel B B _ { 1 } ， A B \bot A N ， A B = B C = A N = 1 2 B B _ { 1 }$$ $$C _ { 1 }$$ B $$B _ { 1 }$$ A N (1)证明： $$B _ { 1 } N \bot$$ 平面 BCN； (2)求直线AC与平面 $$B C _ { 1 } N$$ 所成角的正弦值. [自主解答](1)证明在直角梯形 $$A B B _ { 1 } N$$ 中， $$A N \parallel B B _ { 1 } ， A B \bot A N ，$$ $$A B = A N = 1 2 B B _ { 1 } ，$$ 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 可得BN⊥BN 因为四边形BB1CC为矩形，所以BC⊥BB1 因为平面BB1C1C⊥平面ABBN,且平面BB1CC∩平面ABBN=BB1, 所以BC⊥平面ABBN. 因为B,NC平面ABB,N,所以BC⊥BN 因为BCnBN=B,且BC,BNC平面BCN, 所以BN⊥平面BCN 2)由()知BA,BC,BB1两两垂直，以B为坐标原点，，，的方向分别为x,少， z轴正方向建立空间直角坐标系.不妨设AB=1,则A(1,0,0),C(0,0,1),N1,1,0), C(0,2,1), B y 所以=0,1,0.=0,2,1).=(-1,0,1) 设平面BCN的法向量为m=c,y,), 则moBN-)BC1一）=2y+z=0,令x=1,得m=(1,-1,2) 图为cos〈m,〉=AC一)AC→)=1r6×r(2)=36, 所以直线AC与平面BCN所成角的正弦值为3)6 类型二利用线面垂直建系 例购如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB∥CD且CD=2,AB=I,BC =22,PA=1,AB⊥BC,N为PD的中点. (I)求证：AW∥平面PBC (2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值， ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 →→+ [自主解答](I)证明过A作AE⊥CD于点E,则DE=1,以A为原点，，， 的 方向分别为x,y,z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， Arcy(alys4allcol(0,0,0), Bircavs4alcol(0.I. 0. 2 rc(atvs4alcol(2r(2),0,0), DIrcy(alvs4al