4.5 相似三角形判定定理的证明（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（北师大版）

第四章 图形的相似 第5节 相似三角形判定定理的证明 学习目标 1.会证明相似三角形判定定理；（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点） 复习回顾 问题：相似三角形的判定方法有哪些？ ① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. ③ 三边对应成比例,两三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似 1— 定义法！ D A C B E 由DE//BC,根据平行线分线段成比例推论，ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例，又因为DE//BC,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A是公共角. 根据相似三角形的定义： ΔADE∽ΔABC 在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明． 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC∽△A'B'C'． A′ B′ C′ A B C 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似. A′ B′ C′ A B C 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则 ∠1=∠B，∠2 =∠C， 过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则 ∴ ∵ DE∥BC, DF∥AC, ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形,∴ DE = CF. ∴ ∴ E D F 1 2 ∵ ∠1=∠B，∠DAE=∠BAC，∠2=∠C， ∴ △ADE ∽ △ABC. ∵ ∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'， ∴ △ADE≌△A'B'C'， ∴ △ABC∽△A'B'C. 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. A B C A′ B′ C′ 几何语言： 你能证明吗？ 可要仔细哟！ ∵∠A =∠A′， ∴△ABC∽△A′B′C′ 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A=∠A'， 求证：△ABC ∽ △A'B'C'. A′ B′ C′ A B C E D 1 2 证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则 则∠ B=∠ 1， ∠ C=∠ 2， ∴ △ABC ∽ △ADE， AD = A'B'， ∴ AE =A'C'. ∵ ∠A=∠ A'， ∴ △ADE ≌ △A'B'C'，△ABC ∽ △A'B'C'. 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 几何语言： 你要如何 证明呢？ ∴△ABC∽△A′B′C′ ∵ A B C A′ B′ C′ 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C'中， 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A′ B′ C′ A C E D B 证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD=A'B'，过点 D 作BC的平行线，交AC于点 E，则 ∵ ，AD = A'B'，AE = A'C'，∵∠BAC=∠DAE，∴ △ABC ∽△ADE， 又 ，AD = A'B'， ∴ DE = B'C'， ∴ △ADE ≌ △A'B'C' ，∴ △ABC ∽△A'B'C' . 典例精析 例1.如图，在四边形ABDC中，AB∥CD，AC⊥CD，AC=CD， AB= CD，E是AC的中点，试说明△ABE∽△CED. 解：设AB=a，∵ AC=CD，AB= CD，E是AC的中点， ∴ AC=CD=4a，AE=EC=2a. ∴= = ，= = ，∴= . 又∵ AB∥CD，AC⊥CD， ∴∠A= ∠C=90°，∴△ABE∽△CED. 1.如图，在4× 4 的正方形网格中，△ ABC和 △ DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上 . 填空：∠ABC=______°，AC=________ ； 2. 已知：如图， 求证：AB＝AE. A B D E C 课堂总结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ $$