1.4 二次函数的应用（讲+练，八大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（浙教版）

1.4 二次函数的应用 学习目标：1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数求实际问题. 3.能应用二次函数的性质解决实际问题. 重点：能应用二次函数的性质解决实际问题. 难点：能正确分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 知识点一 利用二次函数解实际问题的步骤 1. 二次函数与一元二次方程的关系 （1）阅读并理解题意; （2）找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析; （3）设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式; （4）根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解; （5）检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍. 注意：在实际问题中，自变量的取值范围必须要结合实际意义和已知条件的限定。 即学即练 （2023·浙江金华期末）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为，计划中的建筑材料总长，设两间饲养室的宽度为，总占地面积为． (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)求饲养室的宽度为多少时，饲养室最大面积多少？ (3)若要使两间饲养室合计占地总而积不低于，求饲养室的宽度的范围． 知识点二 利用二次函数解实际问题的常见类型 （1）几何图形的最大面积 （2）商品利润最大问题 （3）抛物线形实物及运动轨迹问题 即学即练 （2023·广东广州开学考试）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量不低于25套，每套产品的售价不低于90万元，每月利润（万元）．已知这种设备的月产量（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系．    (1)求月产量的范围； (2)如果想要每月利润为1750万元，那么当月产量应为多少套？ (3)求每月利润的范围． 题型一 图形问题(实际问题与二次函数) 例1（2023·浙江金华·统考三模）某品牌水果冻的高为3cm，底面圆的直径为4cm，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线．以左侧抛物线的顶点O为原点，建立如图所示的直角坐标系．    （1）以O为顶点的抛物线的函数表达式是 ． （2）制作该长方体盒子所需纸张面积最小值是 cm2．（不计重叠部分） 举一反三1（2023·浙江温州·统考二模）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知，点，分别在和上，且，设．    素材2 为了打印精准，拟在图2中的边上设置一排间距为的定位坐标（为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案．     问题解决 任务1 确定关系 用含x的代数式表示： 区块Ⅰ的面积＝_____________、区块Ⅱ的面积＝_____________、区块Ⅲ的面积＝_____________． 任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内的整数时，此时的点为最佳定位点，请写出所有的最佳定位点的坐标． 举一反三2（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形，其中，在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线上．测量发现：，，，点到，所在直线的距离分别为，． (1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把，，，，这个点先描到平面直角坐标系上，记点的坐标为；点的坐标为．请你在图中补全平面直角坐标系并画出图形； (2)求直线，曲线的解析式； (3)求矩形的最大面积． 题型二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 例2（2023秋·浙江金华·九年级浙江省义乌市后宅中学校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，，反比例函数的图象与边、交于点、，连接、，则当 时，的面积最大． 举一反三1（2023·浙江温州·统考三模）如图，正方形的边长为，点P，Q同时从点A出发，速度均为，若点P沿向点C运动，点Q沿向点C运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（    ） A． B． B． C． D． 举一反三2（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图1，小球从倾斜轨道由静止滚下时，经过的路程s（米）与时间t（秒）的部分数据如下表． t（秒）