第四章 指数与对数（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第一册）

第四章 指数与对数（知识归纳+题型突破） 1．理解n次方根，n次根式的概念及运算． 2．会进行根式及分数指数幂的化简求值． 3．通过对有理数指数幂a(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 4．理解对数的概念．知道自然对数和常用对数． 5．会用对数的定义进行对数式与指数式的互化． 6．理解对数的运算性质．会用对数的运算性质进行一些简单的化简、计算． 7．理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算． 8．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算． 1．n次方根、n次根式 (1)a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a(n＞1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根． (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． 2．根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0． (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 3．分数指数幂 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质 (1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)； ②(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)； ③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)． (2)拓展：＝as－t(a>0，s，t∈Q)． 5．无理数指数幂 一般地，当a＞0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 6．对数的概念 如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数． 7．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg__N．另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2．718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln__N． 8．对数的概念 如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数． 9．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg__N．另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2．718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln__N． 10．对数运算性质 loga(MN)＝logaM＋logaN， logaMn＝nlogaM， loga＝logaM－logaN (以上各式中a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R) 拓展：logamMn＝logaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R，m≠0) 11．换底公式 logaN＝，其中a>0，a≠1, N>0，c>0，c≠1． 特别地logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1)． 题型一　n次方根的概念 【例1】(1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________． (2)若有意义，求实数x的取值范围． 思维升华 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)符号：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定． ①当n为偶数，且a≥0时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 巩固训练： 1．已知x7＝8，则x等于(　　) A．2 B． C．－ D．± 2．16的4次方根是________，有意义，则x的取值范围是________． 题型二　利用根式的性质化简或求值 【例2】化简： (1)； (2)(a>b)； (3)()2＋＋． 思维升华　 n为奇数时，()n＝＝a，a为任意实数均可； n为偶数时，a≥0，()n才有意义，且()n＝a；而a为任意实数均有意义，且＝|a|． 巩固训练 1．求下列各式的值： (1)；(2)(a≤1)； (3)＋． 题型三　有限制条件的根式的化简 【例3】设－3<x<3，化简－． 思维升华　 当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号． 巩固训练 1．设x≤－3，化简－． 2．　(1)已知x∈[1，2]，化简()4＋