1.3 充分条件与必要条件（同步教案）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（北师大版2021·拓展模块一上册）

1.3 充分条件与必要条件学习目标 了解充分条件和必要条件的概念；了解充要条件的概念;了解命题中条件与结论的关系；知道条件与结论之间的充分性和必要性. 学习重难点 重点：根据命题及其逆命题的真假判断命题的条件是不是结论的充分条件或必要条件. 难点：必要性的理解.教材分析 充分条件和必要条件，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础. 教学工具 教学课件教学过程 （一）创设情境 观察思考 指出下列命题的条件与结论，并判断真假. （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）如果x>2，那么x>3； （3）内错角相等，两直线平行 . 【分析】（1）条件p：两条直线都与第三条直线平行， 结论q：这两条直线也互相平行. (2）条件p：x>2 ， 结论q：x>3. 这个命题是假命题，称作由p推不出q，记作：p ⇏q. X>2 ⇏ x>3但有x>3  x>2. （3）条件p：内错角相等， 结论q：两直线平行. 这个命题是真命题，其逆命题也是真命题. p ⇒q 同时 q ⇒p 【设计意图】以原来学过知识创设情境，引发学生思考. （二）探究新知 一般地，如果已知p⇒q， 我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果既有p⇒q，又有q⇒p， 此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件， 我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 利用视频讲解充分必要条件. 【设计意图】突出强调符号使用规范；结合对比充分条件的概念学习必要条件.. （三）典例辨析 例1 指出下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件. （1） P:x Z,q: xR； （2）P:x<5,q:x<3. 【解】（1）因为整数都是有理数，也一定是实数，所以p⇒q. 因此，p是q的充分条件，q是p的必要条件. （2）（2）若x<5，x可以为4，但是4>3， 所以q⇒p，而p ⇏q. 因此，p是q的必要条件，q是p的充分条件. 例2 在下列命题中，p是q的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）. （1）p：x是6的倍数，q：x是2的倍数； （2）p：x是2的倍数也是3的倍数，q：x是6的倍数； （3）p：x是4的倍数，q：x是6的倍数. 解:（1）x是6的倍数⇒x是2的倍数， x是2的倍数⇏x是6的倍数， 因此，p是q的充分不必要条件. （2）x是2的倍数也是3的倍数⇒x是6的倍数， x是6的倍数⇒x是2的倍数也是3的倍数， 因此，p是q的充要条件. （3）x是4的倍数⇏x是6的倍数， x是6的倍数⇏x是4的倍数， 因此，p是q的既不充分也不必要条件. 【设计意图】直接利用必要条件概念通过判断逆命题真假判断原命题的条件与结论关系. （四）巩固练习 1、下列“若 p，则q”形式的命题中，p分别是q的什么条件？ (1)如果x是整数，那么x是有理数； (2)如果a=0，那么ab=0； (3)第一象限角都是锐角. 【解】: (1)条件p:x是整数;结论q: 是有理数.因为当x 是整数时,  x一定是有理数，所以此命题是真命题，p是q的充分条件； （2）条件P: a=0，q: 那么ab=0.因为当a=0时，一定有ab=0，所以此命题是真命题，p是q的充分条件； (3) 原命题可以表述为：“如果一个角是第一象限角,那么这个角是锐角”，条件p: 一个角是第一象限角, q: 这个角是锐角. 因为第一象限角构成的集合为, 其中的角不一定是锐角, 所以此命题是假命题，p不是q的充分条件. 2、下列命题中的条件p是结论q的什么条件？ (1) 如果𝑥2−3𝑥+2=0 ,那么x=1； （2）如果x是有理数，那么x是实数； （3）如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切. 解 （1）命题“如果 ,那么x=1”是假命题，其逆命题“如果x=1，那么 ”是真命题，所以是x=1的必要条件，但不是充分条件（简称必要不充分条件）. （2）因为“如果x是有理数，那么x是实数” 是真命题，其逆命题“如果x是实数，那么x是有理数” 是假命题，所以如果x是有理数是x是实数的充分条件，但不是必要条件（简称充分不必要条件）. 3、判断下列命题中的条件p是否为结论q的必要条件. (1)如果x+y为偶数，那么x、y都是偶数； （2）如果a=b，那么|a|=|b|. 解 （1）因为“如果x+y为偶数，那么x、y都是偶数”的逆命题“如果x、y都是偶数，那么x+y为偶数”是真命题，所以如果x+y为偶数是x、y都是偶数必要条件.