椭圆弦长与中点弦问题 专练-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆弦长与中点弦问题 【笔记区】 【题型精讲】 题型一、椭圆焦点分弦比问题 例1. 设椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点，若，则下列关系满足题意的是（ ） A. B. C. D. 例2. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点D且，则椭圆的离心率为 例3. 设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，. （1）求椭圆的离心率； （2）若，求椭圆的方程； （3）在（2）的条件下，为椭圆上一点，当面积取得最大值时，求的坐标. 题型二、椭圆的弦长公式 例4. 过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则弦长的长为（ ） A. B. C. D. 例5. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过椭圆左焦点且斜率为1，交椭圆于两点，求弦长. 例6. （2011·北京）已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于两点. （1）求椭圆的焦点坐标和离心率； （2）将表示为的函数，并求的最大值. 例7. 已知椭圆过点，两个焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交椭圆于两点，坐标原点到直线的距离为3，求面积的最大值. 题型三、“垂径定理”和中点弦 例8. 若直线与曲线交于两点，的中点为，直线和（为坐标原点）的斜率都存在，证明： 例9. 设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点，为坐标原点，点满足，点的坐标为，当绕点旋转时，求： （1）动点的轨迹方程； （2）的最大值与最小值. 第 1 页 共 1 页 $$