1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第3课时）-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第 一 章空间向量与立体几何 人教A版2019选修第一册 第三课时 空间中直线、平面的垂直 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理. 4.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系. 01情景导入 PART ONE 复习回顾 1.空间中点、直线和平面的向量表示 (1)点→点+位置向量 (2)线→点+方向向量 (3)平面→点+法向量 2.空间中直线、平面的平行 复习回顾 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 02空间中直线、平面的垂直 PART ONE 空间中直线与直线的垂直 思考1：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间什么关系? 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；如图，设直线 的方向向量分别为，则 空间中直线与平面的垂直 思考2：如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面垂直关系？ 设直线的方向向量为，平面的法向量为，则 使得. 空间中平面与平面的垂直 设平面的法向量分别为， ,则 =0. 思考3：由平面与平面的垂直关系，可以得到平面的法向量有什么关系？ 03新知应用 PART ONE 1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.(　　) (2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(　　) (3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.(　　) (4)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.(　　) 新知应用 × √ × 牛刀小试 √ 2.已知向量 ，分别为直线 方向向量和平面 的法向量，若，则实数 x 的值为（       ） A．- B． C．1 D．2 新知应用 C 3.若平面α，β的法向量分别为m＝(－1,2,4)，n＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为(　　) A．10 B．－10 C. D．－ B 新知应用 题型一：直线与直线垂直 新知应用 题型一：直线与直线垂直 新知应用 题型一：直线与直线垂直 新知应用 题型一：直线与直线垂直 D1 新知应用 方法总结 题型一：直线与直线垂直 利用向量方法证明线线垂直的方法 (1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直; (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直. 新知应用 题型一：直线与直线垂直 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点. 求证:(1)BD1⊥AC (2)BD1⊥EB1. 【解析】证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立 如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E (,B1(1,1,1). (1)∵ =(-1,-1,1), =(-1,1,0),∴ =(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0. ∴,∴BD1⊥AC. (2)∵=(-1,-1,1), =(,1) ,∴ =(-1)×+(-1)×+1×1=0, ∴ ,∴BD1⊥EB1. 题型二：直线与平面垂直 新知应用 3. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点． 求证：EF⊥平面B1AC. 证明：设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)． 法一（线面垂直的判定）： ∴ ＝(－1，－1,1)，＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)． ∴ ·＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0. ·＝2－2＋0＝0， ∴ ⊥， ⊥，∴EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A， ∴EF⊥平面B1AC. 题型二：直线与平面垂直 新知应用 法二：（法向量） ∴ ＝