24.5 相似三角形的性质（讲+练，五大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪教版）

24.5 相似三角形的性质 学习目标：1、掌握相似三角形性质定理； 2、经历相似三角形性质定理的探索过程，体会类比思想，发展合情推理能力． 重点：相似三角形的性质定理及其应用. 难点：相似三角形的性质定理的发现与证明. 知识点一 利用二次函数解实际问题的步骤 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 如图所示，且相似比为,即 若，分别为两个三角形的高,则,即相似三角形对应高的比等于它们的相似比. 若，分别为两个三角形的对应角平分线,则,即相似三角形对应角平分线的比等于它们的相似比. 同理可以推出相似三角形对应中线的比也等于它们的相似比. 注意：我们也可以得到：，,,.因此，以上结论可概括为相似三角形对应线段的比等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 在中，,相似比为,因此，,,从而有，即与周长的比等于相似比.类似地,相似多边形周长的比等于相似比 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图所示，，且相似比为,则,即,所以相似三角形面积的比等于相似比的平方. 提示： 在两相似三角形中，“相似比=周长之比=对应线段之比”,这三者之间可以互相进行等量转化.(2)面积比=(相似比)²;相似比= 即学即练1 （2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知和相似，对应边与之比为，如果的周长为24，那么的周长是 ． 即学即练2 （2022秋·上海静安·九年级校考期中）的三边之比为，，若中最长的边为14厘米，则最短的边长为 厘米． 即学即练3 （2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，正方形内接于，，若的面积是，则的长是 ． 相似三角形的对应角、对应边的找法与全等三角形的对应角、对应边的寻找规律一样.一般地,公共角、对顶角等是对应角,最大(小)的角对应最大(小)的角,最长(短)的边对应最长(短)的边. 知识点二 相似三角形的应用 1.相似三角形的实际应用的主要类型 (1)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度;(2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度 2.利用相似三角形计算不能直接测量的河的宽度的两种常见模型 (1)如图所示,BC为河宽,DE//BC则△ADE∽△ABC，∴,而AD,AB,DE的长均易测出,故 . (2) 如图所示,BC为河宽,DE// BC,则△ADE∽△ABC，∴而AD,AB,DE 均易测出,故. 3利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1:利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度).如图1所示，选一名同学(或利用一根标杆)直立于旗杆影子的顶端处，然后测量出该同学(或标杆)的高度和影长及旗杆的影长，再利用同一时刻物高与影长成比例求解 方法 2:利用镜子的反射(如测量旗杆的高度).如图2所示,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回走动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，然后测量出人站立点与镜面上的点的距离、旗杆底部与镜面上的点的距离及观测者的目高,并根据反射角等于入射角,利用相似三角形求解 方法 3:利用特殊角测量物体的高度,如图3所示，使用的工具有:皮尺、测角器.通过测角器观测旗杆顶端A,使测角器的示数为60°(条件允许可以45°,30°),利用,可求得旗杆的高度 方法 4:利用标杆(如测量古塔的高度) 准备一根比自己略高一些的标杆,把它竖直地插在要测的古塔前的E处，如图 4所示,设古塔的中心线为PO,自标杆起面对古塔沿OE的延长线向后退至A处,此时,要使自己的眼睛看到古塔顶P与标杆顶F在同一直线上,然后保持头部不动,眼睛沿水平线DB的方向望去，使视线与标杆EF 和古塔 PO分别相交于 GB分别做好标记,于是△GFD∽△BPD,得,因为BD =AO,GD =AE,GE =DA.所以就有,PO=PB+DA. 即学即练 1 （2022秋·上海崇明·九年级校考期中）学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索： 他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米． 根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度． 即学即练2 （2021秋·上海宝山·九年级统考期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在