专题07 利用空间向量计算空间中距离的8种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题07 利用空间向量计算空间中距离的8种常见考法归类 1、空间中距离的定义及分类 （1）定义 ①点到点的距离，是指两点之间线段的长度. ②点到直线的距离，是指点与直线之间垂线段的长度. ③两条平行直线之间的距离，是指其中一条直线上任意一点与另一直线之间垂线段的长度. ④点到平面的距离，是指点与平面之间垂线段的长度. ⑤相互平行的直线与平面之间的距离，是指直线上任意一点与平面之间垂线段的长度. ⑥两个平行平面之间的距离，是指其中一个平面上任意一点与另一平面之间垂线段的长度. ⑦异面直线之间的距离，是指两条异面直线之间公垂线段的长度. 注：①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线;②公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段;③两条异面直线公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.④公垂线段是异面直线上任意两点的最小距离 （2）分类情况 ①点到点的距离; ②点到直线的距离，包括点到直线的距离、两条平行直线之间的距离; ③点到平面的距离，包括点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及两个平行平面之间的距离; ④异面直线之间的距离. 2、利用空间向量计算空间中距离的四种类型及方法 空间中距离的四种类型 求法 （1）点到点的距离 方法：由已知两点分别作为起点和终点得出向量，计算该向量的模，即为点到点的距离 具体步骤：①确定点A为起点，点B为终点，得出向量；②计算； ③距离 （2）点到直线的距离 方法1：过点P向直线作垂线，垂足为点Q，计算即为点P到直线的距离 具体步骤：①在直线上作点Q，使得；②作出；③计算；④距离 方法2：作直线上的一个方向向量，计算在方向向量上的投影，在通过勾股定理计算出的长度，即为点到直线的距离 具体步骤：①在直线上取定两点A，B，得出向量，； ②计算在上的投影；③利用勾股定理计算；④距离 （3） 点到平面的距离 具体步骤：求平面外一点到该平面的距离，需先求得平面的法向量.由于平面的法向量与平面垂直，所以法向量垂直于平面内的任意一条直线，若在平面内，那么,,即,,据此求得法向量.在平面内任取一点,则到平面的距离为,即在法向量上投影的绝对值. （4） 异面直线之间的距离 如图，设是异面直线，是的公垂线段的方向向量，又分别是上的任意两点，则在上投影的绝对值即为之间的距离. 具体步骤：①在直线上取点A，C，在直线上取点B，D；②通过和计算公垂线段的方向向量；③计算在上的投影；④ 注：在立体几何中，求点到平面的距离、异面直线的距离、直线到平面的距离（此时直线与平面不相交）、两个平行平面的距离有一个统一的公式，其中两点A，B分别在两个图形上，指平面的一个法向量（求两条异面直线的距离时，与这两条异面直线的方向向量均垂直）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 点到点的距离 考点二 点到直线的距离 考点三 点到平面的距离 考点四 两个平行的直线与平面的距离 考点五 两个平行平面间的距离 考点六 异面直线之间的距离 考点七 空间距离的最值问题 考点八 已知空间距离求其他量 考点一 点到点的距离 1．（2023秋·高二单元测试）在空间直角坐标系中，点到点的距离是 ． 2．（2023秋·高二单元测试）已知，是空间直角坐标系中的两点，点关于轴对称的点为，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·高二课时练习）已知点,，求： (1)线段MN的长度； (2)到M，N两点的距离相等的点的坐标满足的条件． 4．（2023·全国·高二专题练习）设，则AB的中点M到点C的距离（    ） A． B． C． D． 考点二 点到直线的距离 5．（2023秋·浙江·高二校联考期中）已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 ． 6．（2023秋·高二课时练习）已知直三棱柱中，，，则点B到直线的距离为 ． 7．（2023秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为O，棱，的中点分别为E，F，则下列选项中不正确的是（    ）    A． B． C．点F到直线的距离为 D．异面直线与所成角的余弦值为 8．【多选】（2023春·福建莆田·高二统考期末）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）.把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则 A． B．若为线段上的一个动点，则的最大值为2 C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的正切