2.7 第1课时 二次根式及其化简（讲解课件PPT）【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（北师大版）

2.7 二次根式 第二章 实数 第1课时 二次根式及其化简 优翼数学教学课件（BS）八上 下面来看某运动员在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包. 导入新课 通过表情来辨别人物，最重要的是根据个人的面部特征，那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.” ----中科院数学与系统科学研究院 李邦河 复习引入 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 怎么表示它？ 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示. 问题3 什么数有平方根? 我们知道，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是非负数. 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m． (2)如图的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m． 图 图 (3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度 h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t，那么 t 为 ． _____ 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示 2，S，3， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． ① 都含有开方运算； ② 被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 二次根式的概念及有意义的条件 新课讲授 归纳总结 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ a ”叫做被开方数. 注意：a 可以是数，也可以是式子. 两个必备特征 ① 外形特征：含有“ ” ② 内在特征：被开方数 a≥0 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否为二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 典例精析 例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义? 解：由 x - 2≥0，得 x≥2. 当 x≥2 时， 在实数范围内有意义. 【变式题1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得 x - 1＞0， ∴ x＞1. 解：∵ 被开方数需大于或等于零， ∴ 3 + x≥0，∴ x≥-3. ∵ 分母不能等于零， ∴ x - 1 ≠ 0，∴ x ≠ 1. ∴ x≥-3 且 x ≠ 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可. 若式子含分式，应同时考虑分母不为零. 归纳 【变式题2】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：(1)∵无论 x 为何实数， ∴当且仅当 x = 1 时， 在实数范围内有意义. (2)∵无论 x 为何实数，-x2 - 2x - 3 = -(x + 1)2 - 2＜0， ∴无论 x 为何实数， 在实数范围内都无意义. 被开方式是多项式时，常常需要将多项式变形为完全平方式加(或减)常数项的形式，再研究其取值范围. 归纳 (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 有意义的 条件： (3)二次根式作为分母如 有意义的条件：A＞0； (4)形如 的式子有意义的条件：A≥0 且 B ≠ 0. 归纳总结 1.下列各式： . 一定是二次根式的有 （ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B