1.3.3 第2课时 等比数列前n项和的综合应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P183]

1．1002－992＋982－972＋…＋22－12的值是(　　)

A．5 000    B．5 050    C．10 100     D．20 200

B　解析：原式＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋…＋(2＋1)×(2－1)

＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝×100×(1＋100)＝5 050.

2．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，a3＝10，{an＋1－an}是等比数列，则数列{an}的前8项和S8＝(　　)

A．376    B．382    C．749     D．766

C　解析：由已知得，a2－a1＝3，a3－a2＝6，而{an＋1－an}是等比数列，故q＝2，

所以(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝3＋6＋…＋3×2n－2＝＝3×2n－1－3，

所以an－a1＝3×2n－1－3，化简得an＝3×2n－1－2，

S8＝a1＋a2＋…＋a8＝3×(1＋2＋…＋27)－2×8＝3×－16＝3×28－19＝749.

3．已知数列的前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，

则S15＋S22－S31的值是(　　)

A．13    B．－76    C．46     D．76

B　解析：S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，

S22＝－4×11＝－44，S31＝－4×15＋a31＝－4×15＋121＝61，S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.

4．(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　)

A．若Sn＝n2＋1，则{an}是等差数列

B．若Sn＝3n－1，则{an}是等比数列

C．若{an}是等差数列，则S9＝9a5

D．若{an}是等比数列，且a1>0，q>0，则S1·S3>S

BC　解析：若Sn＝n2＋1，当n≥2时，an＝2n－1，a1＝2不满足an＝2n－1，故A错误．若Sn＝3n－1，则an＝a1＝2满足an＝2·3n－1，所以{an}是等比数列，

故B正确．若{an}是等差数列，则S9＝＝9a5，故C正确．S1·S3－S＝a(1＋q＋q2)－a(1＋q)2＝－aq<0，故D错误．

5．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第六名恰好将资金分完，则需要拿出资金________万元．

126　解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一个数列{an}，则a1为全部资金，第一名领走后的剩余资金为a2，a2＝a1－1，依次类推，an＋1＝an－1，所以an＋1＋2＝(an＋2)，所以{an＋2}是一个等比数列，公比为，首项为a1＋2.所以an＋2＝(a1＋2)·()n－1，即an＝(a1＋2)·()n－1－2.因为第六名领走资金后剩余为a7＝(a1＋2)×()6－2＝0.所以a1＝126，即全部资金为126万元．

6．以a1为首项、q为公比的等比数列{an}满足a1＝，q＝－，设数列{an}的前n项和为Sn，若t≤Sn≤3t恒成立，则实数t的取值范围是________．

　解析：由题意得

Sn＝＝1－(－)n，

可得S2≤Sn≤S1，所以≤Sn≤，

所以即≤t≤.

7．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．

解：(1)设等差数列{an}的公差为d.

由已知得

解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.

(2)由(1)可得bn＝2n＋n，

所以b1＋b2＋b3＋…＋b10

＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)

＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)

＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.

8．某工厂2019年初有资金1 000万元，资金年平均增长率可达到20%，但每年年底要扣除x(x<200)万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产．

(1)以第2019年为第一年，设第n年初有资金an万元，用an和x表示an＋1，并证明数列{an－5x}为等比数列；

(2)为实现2029年初资金翻两番的目标，求x的最大值(精确到万元).(参考数据：1.29≈5.160，1.210≈6.192，1.211≈7.430)

解：(1)依题意，an＋1＝an·(1＋0.2)－x，整理得：an＋1－5x＝(an－5x)，

＝，又a1－5x＝1 000－5x>0，

所以数列{an－5x}是以1 000－5x为首项，为公比的等比数列．

(2)由(1)知，an－5x＝(1 000－5x)·()n－1，an＝(1 000－5x)·()n－1＋5x.

若2029年初资金翻两番，

则a11＝(1 000－5x)·()10＋5x≥4 000，解得x≤84.4，

所以x的最大值是84.

9．(多选题)计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象．当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0，即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态．该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是(　　)

A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件

B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件

C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态

D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列