4.2.2等差数列的前n项和的性质及应用第2课时 教案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和的性质及应用（第2课时） 教学设计 课题 等差数列的前n项和的性质及应用 单元 第一单元 学科 数学 年级 高二 教材分析 本节课是2019版高中数学(人教版)选择性必修第二册，第四章《数列》。本节课主要学习等差数列的前n项和的性质及应用。 数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以很重要。等差数列前n项和公式的推导过程，体现了代数变换在数列研究中的价值，蕴含着数列求和的一般方法，以及分类讨论的数形思想，让学生体验从特殊到一般的研究法，培养学生灵活运用公式的能力，发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养。 教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 等差数列的前n项和公式 2逻辑推理： 等差数列的前n项和的性质 3数学运算： 等差数列的前n项和的应用 4数学建模： 等差数列的前n项和的具体应用 5直观想象： 等差数列的前n项和公式与相应二次函数的关系 6数据分析：等差数列的前n项和公式的灵活运用 重点 求等差数列的前n项和的最值 难点 等差数列的前n项和的性质及应用 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 1 等差数列前n项和公式？ 提示： ①推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法”. ②方程（组）思想的应用，“知三求一”，“知三求二”. ③ 等差数列前n项和可以转化为关于n的一元二次函数或一次函数(d=0) . 复习导入 复习上一节所学的内容，为本节课的继续深入奠定基础 讲授新课 拓展 等差数列前n项和的常用性质 设等差数列的前n项和为 ，则 1. 数列是等差数列 (p、q为常数) 数列是等差数列. 2. 等差数列的依次k项之和，公差为的等差数列. 3. 若表示奇数项的和， 表示偶数项的和，公差为d， ① 当项数为偶数2n时， ， ②当项数为偶数2n-1时， ， , 例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位. 分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列. 设数列的前n项和为.由题意可知，是等差数列，并且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项. 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位依次排成一列，构成等差数列，其前n项和为. 根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且 . 由，可得 . 因此，第1排应安排21个座位. 例9 已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由. 分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数 ，使得当时，，递减.这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和. 另一方面，等差数列的前n项和公式可写成 所以当 时，可以看成是二次函数 当 时的函数值. 如图4.2-4，当 时，关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此，可以利用二次函数求出相应的的值. 解法1 由，得 所以是递减数列. 又由，可知： 当时，； 当 时，； 当 时，. 所以 . 也就是说，当n=5或6时，最大. 因为， 所以的最大值为30. 解法2： 因为， 所以，当n取与最接近的正数即5或6时，最大，最大值为30. 思考 在例9中，当d=-3.5时，有最大值吗？结合例9考虑更一般的等差数列前n项和的最大值问题. 提示：结合对应的二次函数知，有最大值，当n=3时，取到最大值. 拓展： 等差数列前n项和的最值 （1）二次函数法： 将配方，转化为二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决。但要注意 当 时，有最小值； 当 时，有最大值； 且n取最接近对称轴的自然数时，取到最值. （2）图象法： 利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使取得最值. （3） 邻项变号法： 当时，满足 的项数n使取得最大值. 当时，满足 的项数n使取得最小值. 课堂练习： 1（例题改编） 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，求第21项到第30项的和. 解法1： 设等差数列的首项为，公差为d，得 ， . 所以 解方程组，得 所以 ，于是 所以第21项到第30项的和为1510. 解法2： 数列，， 构成等差数列 即310，910，成等差数列 所以 所以 2在等差数列中，，，则此数列前20项的和等于多少？ 解：等差数列中， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴此数列前20项的和 所以，此数列前20项的和等于320. 3 已知数列， 均为等差数列，其前n项和分别为，且，则 解： 由等差