4.2.2等差数列n项和第1课时 教案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和（第1课时）教学设计 课题 等差数列的前n项和 单元 第一单元 学科 数学 年级 高二 教材分析 本节课是2019版高中数学(人教版)选择性必修第二册，第四章《数列》。本节课主要学习等差数列的前n项和公式的推导及应用。 运算是代数学的核心，本节用具体例子说明了如何利用运算探索数列的取值规律。等差数列前n项和公式的推导过程，体现了代数变换在数列研究中的价值，蕴含着数列求和的一般方法，以及分类讨论的数形思想，让学生体验从特殊到一般的研究方法，培养学生灵活运用公式的能力，发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养。 教学 目标与 核心素养 1数学抽象：等差数列的前n项和公式 2逻辑推理：等差数列的前n项和公式的推导 3数学运算：等差数列的前n项和的应用 4数学建模：等差数列的前n项和的综合应用 5直观想象： 等差数列前n项和公式的特征以及它与相应二次函数的关系 6数据分析： 等差数列前n项和公式的推导方法，“首尾配对法”与“倒序相加法”（即首尾配对法要分奇偶，倒序相加则可一步到位），学生经历公式推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，提高学生参与数学活动的能力，进一步培养学生灵活运用公式的能力。 重点 等差数列的前n项和公式的推导及应用 难点 等差数列的前n项和公式的推导及应用 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1+2+3+4+…+100=？ 其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： （1+100）+（2+99）+…+（50+51）=10150=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，…，n，… ① 前100项的和的问题. 数学史导入 高斯，德国数学家，近代数学的奠基者之一，他在天文学、大地测量学、磁学、光学等邻域都做出过杰出贡献. 通过了解历史上高斯的故事，提出等差数列求和问题 讲授新课 思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？ 对于数列①，设, 那么高斯计算方法可以表示为 . 可以发现，高斯在计算中利用了 这一特殊关系，这就是上一小节例5中性质的应用，它使不同数的求和问题转化成了相同数（即101）的求和，从而简化了运算. 将上述方法推广到一般，可以得到： 当n是偶数时，有 ， 于是有 当n是奇数时，有 所以，对于任意正整数n，都有 思考 我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？ 如果对公式 作变形，可得 它相当于两个相加，而结果变成n个（n+1）相加. 受此启发，我们得到下面的方法： ， ， 将上述两式相加，可得 所以 探究 上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前n项和吗？ 可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序”为，将两式相加，得到n个相同的数（即n+1）相加，从而把不同数的求和转化为n个相同的数求和. 对于等差数列 ，因为 ， 由上述方法得到启示，我们用两种方式表示 ① ② ①+②,得 由此得到等差数列的前n项和公式 (1) 对于等差数列，利用公式（1），只要已知等差数列的首项和末项 ，就可以求得前n项和.另外，如果已知首项和公差d，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用和d来表示. 把等差数列的通项公式代入公式（1），可得 (2) 等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项 与项数 首项，公差与项数 选用 公式 思考： 1. 等差数列前n项和的公式（1）和公式（2）有什么共同点和不同点： 提示：共同点是两个公式均为等差数列的求和公式，均需知道 . 不同点是 还需知道， 还需知道d，解题时根据已知条件决定选用哪个公式. ①两个公式一共涉及五个量. 通常已知其中三个，可求得其余两个，而且方法就是解方程（组），这也是等差数列的基本问题形式之一 ②当已知首项，末项，项数n时，用公式. 用此公式时，有时要结合等差数列的性质，如,从而有 思考： 2． 等差数列中， 与 相等吗？表示什么意义？ 提示：相等，表示等差数列前n项的平均数. 思考 3. 不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？ 提示：从等差数列前n项和的定义及通项公式入手 例6 已知数列是等差数列. （1）若，，求 ； （2）若，，求； （3）若， , ，求n. 分析： 对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用的值求出d，再利用公式求和；（3）已知公式 中的， 和，解方程即可求得n. 解： （1）因为