高二学业水平考试基础知识梳理第十章 概率-2023-2024学年数学人教A版（2019）必修第二册

第十章 概率 知识框架 学考要求 （1）理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系. （2）了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算. （3）理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率. （4）理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则. 知识点明晰 一、随机事件与概率 1．随机试验 对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． 2.样本空间 随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点． 高中阶段我们只讨论Ω为有限集的情况．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. 3.事件及分类 （1）随机事件：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件。 （2）把只包含一个样本点的事件称为基本事件。随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示． 特点：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． （3）必然事件与不可能事件 在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.而空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 2、 事件的关系和运算 1. 包含关系：一般地，对于事件A与事件B，若事件A发生，则事件B一定发生，就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)， 记作：B⊇A(或A⊆B)，图形表示 2. 相等关系：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B， 则称事件A与事件B相等。 若B⊇A且A⊇B，则A＝B 3. 并事件：一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)。记作：A∪B(或A＋B ) 4. 交事件：一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B 中，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)。记作：A∩B(或AB)。 5. 互斥事件：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)。 若A∩B＝∅，则A与B互斥(或互不相容) 6. 对立事件: 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为. 若A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，则A与B互为对立. 注意：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。 3、 古典概型 1. 定义： 如果某类概率模型具有以下两个特点 ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性） ②每个基本事件出现的可能性相等．（等可能性） 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2. 古典概型的概率公式：对于任何事件A， P(A)＝． 3. 计算古典概型的概率问题的一般步骤: (1)判断本试验是否是等可能的,并通过列举或计算得到样本空间中样本点的总数n; (2)找出事件A所包含的样本点,得到A包含的样本点的个数m; (3)利用公式P(A)==,求出概率P(A). 4. 4、 概率的性质 1. 取值范围：任一事件的概率∈[0，1]． 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0． 2. 概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 3. 若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0． 注意：当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题． 5、 事件的独立性 1．相互独立事件的定义： 设A, B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。 事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立。 2．相互独立事件同时发生的概率： 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。 注意：设A, B，C为三个事件，A, B，C两两独立，等式不一定成立。 一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 ． 3．对于任意事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系： 。 6、 频率与概率 1．频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． 2．概率：随机事