22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第22章 一元二次方程 华师版(2012)九年级上册数学 22.2.5一元二次方程根与系数的关系 知识回顾 配方法 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 公式法 公式 注意 步骤 a ≠ 0 Δ = b2 − 4ac≥0 1. 变形 2. 定数 3. 判定 4. 计算： 第22章 一元二次方程 新知探究 问题1 观察下列一元二次方程的两根与系数，猜想有什么关系? 第22章 一元二次方程 证明：利用公式法求方程的两根 猜想：当二次项系数为 1 时，方程 x2 + px + q = 0 的两根为x1， x2. 利用公式法求方程的两根： x = x1 = x2 = -p q 第22章 一元二次方程 知识要点1 一元二次方程的根与系数的关系 如果 x2 + px + q = 0 的两个根为 x1， x2，那么 x1+ x2= -p， x1 x2= q 第22章 一元二次方程 问题2 如果 ax2 + bx + c = 0 ( a、b、c 是常数，a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，则 b2 - 4ac≥0. 由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 第22章 一元二次方程 证明 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) 第22章 一元二次方程 知识要点2 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2， 那么 注意：a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 第22章 一元二次方程 典例讲解 例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 – 6x – 15 = 0； x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15. (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； x1 + x2 = − ， x1 x2 = (3) 5x – 1 = 4x2. x1 + x2 = ， x1 x2 = . 第22章 一元二次方程 例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 所以 x1·x2 = 2x2 = ， 即 x2 = 由于 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7. 答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7. 第22章 一元二次方程 例3 求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 1. 解：(x - 2)(x - 3)=0， x2 - 5x + 6 = 0. 第22章 一元二次方程 例4 设 x1，x2 是方程 2x² + 4x - 3 = 0 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值. 第22章 一元二次方程 解:由题意知 第22章 一元二次方程 第22章 一元二次方程 a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 不解方程，求两根的和与积 已知一根，求另一个根及参数的值 不解方程，求含两根的对称式的值 课堂小结 韦达定理 公式 注意 应用 一元二次方程的根与系数的关系 x1+ x2= -p， x1 x2= q 第22章 一元二次方程 1．已知x1、x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是(　　) A．x1≠x2 B．x－2x1＝0 C．x1＋x2＝2 D．x1·x2＝2 2．若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为(　　) A．－2 B．2 C．4 D．－3 课堂练习 D A 第22章 一元二次方程 1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ， m = ____. 2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = . 1 -2 -3 第22章 一元二次方程 3. 已知关于 x 的方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0. 解得 m = 16. 设另一个根为 x1，则 1 · x1 = ∴ x1 = 第22章 一元二次方程 5. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x -3 =