4.4 同角三角函数的基本关系-【名师大课堂】中职高一数学基础模块上册导练与提高（高教版2021）

4.4 同角三角函数的基本关系 1.同角三角函数的平方关系:sin2α+cos2α = . 2.同角三角函数的商数关系:sinαcosα= . 【例9】 已知tanα=-512 ,且α是第四象限 角,求sinα和cosα. 解:由tanα=sinαcosα=- 5 12 得sinα=-512 cosα,代 入 sin2α + cos2α = 1 得 -512cosα 2 +cos2α=1,化简得cos2α= 144 169 ,即cosα=± 144169=± 12 13. 因为α是 第四象限角,所以cosα>0,因此cosα= 12 13 ,sinα=-512cosα=- 5 12× 12 13=- 5 13. 【变式9】 已知sinα=-45 ,且α是第四象 限角,求cosα和tanα. 【例10】 已知sinα=2cosα,求下列各式的 值: (1)sinα-4cosα5sinα+2cosα ;(2)sin2α +2sin αcosα. 解;(1)将sinα=2cosα代入原式得 sinα-4cosα 5sinα+2cosα = 2cosα-4cosα 5×2cosα+2cosα = 2-4 5×2+2= -2 12=- 1 6. (2)因为sinα=2cosα,所以tanα=sinαcosα =2cosαcosα=2 ,于是有sin2α+2sinαcosα = sin 2α+2sinαcosα sin2α+cos2α = sin2α cos2α+ 2sinαcosα cos2α sin2α cos2α+ cos2α cos2α = tan 2α+2tanα tan2α+1 = 22+2×2 22+1 =85. 【变式10】 已知tanα=2,求下列各式 的值: (1)sinα+cosαsinα-cosα ;(2)2sinα+3cosαsinα-4cosα. [基础巩固] 一、选择题 1.已知sinα=45 ,且α∈ π2 ,π ,则cosα= ( ) A.45 B.- 4 5 C.35 D.- 3 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —27— 基础模块上册·数学 2.若sinα+cosα=1,则sinαcosα= ( ) A.0 B.1 C.12 D. 3 2 3.已知cosα=-35 ,且α∈(π2 ,π),则tanα = ( ) A.±34 B.- 3 4 C.±43 D.- 4 3 4.已知cosα=45 ,且α∈(0,π),则tanα= ( ) A.43 B. 3 4 C.±43 D.± 3 4 二、填空题 5.同角三角函数的基本关系式是 ,商数关系式是 . 6.1-sin2α= ;1-cos2α= ;tanαcosα= . 7.sin22α+cos22α= ;sin2β2+cos 2 β 2= . 三、解答题 8.已知tanα=5,求sinα-4cosα2sinα-3cosα 的值. 9.已知sinα=45 ,且α为第二象限角,求 cosα和tanα的值. [能力进阶] 一、填空题 1.sinαcosα= ;sin2α cos2α= ; sinβ2 cosβ2 = . 2.若cosα= 1-sin2α,则角α是第 象限角. 3.若sinα=- 1-cos2α,则角α是第 象限角. 4.1-sin230°= ;1-sin266°= . 5.1-cos223°= ;1-cos259° . 二、选择题 6.若cosα=45 ,且α是第四象限角,则sinα = ( ) A.-45 B. 4 5 C.35 D.- 3 5 7.若cosα=817 ,且α是第一象限角,则tan α= ( ) A.158 B.- 15 8 C.815 D.- 8 15 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋