4.3 任意角的三角函数-【名师大课堂】中职高一数学基础模块上册导练与提高（高教版2021）

[素养提升] 1.已知扇形AOB 的圆心角为120°,半径长 度为6,求: (1)弧AB 的长;(2)扇形AOB 的面积. 2.已知-3π4 弧度的角,(1)判断其是第几象 限角;(2)用弧度制写出与它终边相同的 角的集合;(3)写出此集合在-2π~2π之 间的角. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4.3 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数:设角α是平面直角坐 标系中的一个任意角,在其终边上任取 一点P(x,y),则点P 到原点的距离为r = (r>0),那么角α的正弦、余 弦、正切可以分别定义为sinα= ,cosα= ,tanα= (x ≠0).对于每一个确定的角α,都有 的正弦值、余弦值及正切值与之对 应.因此,sinα、cosα和tanα都是以角α 为自变量的函数,分别称为角α的 、 和 ,它们都是三角 函数. 2.将 三 角 函 数 的 定 义 域 与 值 域 填 在 下 表中. 三角函数 定义域 值域 y=sinα y=cosα y=tanα 3.将特殊角的三角函数值填在下表中. 角度 0°30°45°60°90°180°270°360° sinα cosα tanα 4.在平面直角坐标系中,以 为圆 心、 为半径的圆就是单位圆.角 的终边与单位圆的交点的坐标可以表示 为 . 5.在下表中填写点P 的坐标x 和y,以及 三角函数值的符号. α所在 的象限 点P 的坐标 x y sinα=yr cosα =xr tanα =yx 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —76— 第四章 三角函数 【例6】 已知角α的终边经过一点P(4a, -3a)(a≠0),求2sinα+cosα的值. 分析:利用三角函数的定义求解. 解:由 已 知 x=4a,y= -3a,得 r= x2+y2=5|a|. 当a>0时,r=5a,sinα=yr=- 3 5 ,cosα =xr= 4 5 ;故2sinα+cosα=-25 ; 当a<0时,r=-5a,sinα=yr= 3 5 ,cosα =xr=- 4 5 ,故2sinα+cosα=25. 【变式6】 α是第二象限角,P(x,5)为其 终边上的一点,且cosα= 24x ,则x的值 为 ( ) A.3 B.± 3 C.- 3 D.- 2 【例7】 求使y= sinθcosθ 有意义的角θ所在 的象限. 解:要使y=sinθcosθ 有意义,需满足sinθ cosθ≥ 0,即 sinθ≥0, cosθ>0 或 sinθ≤0 , cosθ<0 因此角θ所 在的象限为第一象限或第三象限. 【变式7】 若cosθtanθ>0,确定角θ所在 的象限. 【例8】 求值:3sin90°-2cos2180°+5tan 0°-4sin270°+cos0°. 解:3sin90°-2cos2180°+5tan0°-4sin 270°+cos0° =3×1-2×(-1)2+5×0-4×(-1) +1 =3-2+0+4+1 =6. 【变式8】 求值:tan32π+sin3π2-cos π 2+ 4tanπ+cosπ. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4.3.1 任意角的三角函数定义 [基础巩固] 一、选择题 1.若角α终边上有一点P(0,5),则sinα= ( ) A.5 B.1 C.0 D.不存在 2.已知角α终边上有一点Q(3,-4),则cos α= ( ) A.-45 B. 3 5 C.45 D.- 3 4 3.下列各角中,正切值不存在的是 ( ) A.3π5 B.90° C.π D.5π4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋