2.1 不等式的基本性质-【名师大课堂】中职高一数学基础模块上册导练与提高（高教版2021）

2.1 不等式的基本性质 1.比较两个实数的大小: a-b>0⇔a b;a-b=0⇔a b;a-b<0⇔a b. 2.作差比较法:比较两个实数(或代数式) 的大小,可以转化为比较 与 的大小. 3.不等式的基本性质: (1)加法法则:a>b⇒a+c b+ c;a>b⇒a-c b-c. 根据不等式的加法法则,容易证明: a+b>c⇒a c-b. (2)乘法法则:a>b,c>0⇒ac bc;a>b,c<0⇒ac bc. (3)传递性:a>b,b>c⇒a c;a <b,b<c⇒a c. (4)同向不等式的可加性: a>b,c>d⇒a+c b+d;a<b,c <d⇒a+c b+d. 4.若a>b>0,c>d>0,则ac bd. 【例1】 已知a>0,b>0,比较下列各组式 子的大小. (1)ba+1 与 b a+2 ; (2)b+1a 与b+2 a . 【变式1】 已知a>0,b>0,比较下列各组 式子的大小: (1)ba 与 b a+1 ;(2)ba 与b+1 a . 【例2】 试比较2x2-x+2与x2+x-3的 大小. 解:因为(2x2-x+2)-(x2+x-3)=x2 -2x+5=(x-1)2+4,且(x-1)2≥0, 所以(x-1)2+4>0,即2x2-x+2>x2 +x-3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —61— 基础模块上册·数学 【变式2】 试比较(x-1)2 与2x2-2x+1 的大小. 【例3】 若a>0,b>0,且a≠b,则a+b2 , ab,2aba+b ,a 2+b2 2 这4个数的大小顺序 是 ( ) A.ab<a+b2 < a2+b2 2 < 2ab a+b B.a 2+b2 2 < ab< a+b 2 < 2ab a+b C.2aba+b< ab< a+b 2 < a2+b2 2 D.ab< a 2+b2 2 < a+b 2 < 2ab a+b C 令a=1,b=2,则有a+b2 = 3 2 ,ab= 2,2aba+b= 4 3 ,a 2+b2 2 = 5 2 , 于是4 3< 2< 3 2< 5 2 ,即2ab a+b< ab< a+b 2 < a2+b2 2 , 因此,本题选C. 【变式3】 若a>0>b且a+b<0,则下列 4个不等式中正确的是 . ①|a|<|b|;②|a|>|b|;③1a> 1 b ;④1a <1b. 【例4】 在实数范围内,下列选项中一定正 确的是 ( ) ①若ac>bc,则a>b;②若a c2 >b c2 ,则a> b;③若a>b,ab≠0,则1a> 1 b ;④若a> b,c>d,则a-c>b-d;⑤若a>b,c>d, cd≠0,则ac> b d ;⑥若a>b,c<d,则a- c>b-d;⑦若a>b>0,d>c>0,则ac> b d ;⑧若a>b,ab<0,则1a> 1 b. A.①⑥⑦⑧ B.②⑥⑦⑧ C.③④⑤⑥ D.①②⑤⑦ B ①不一定正确,当c为负数时,a<b. ②一定正确,因为1 c2 >0,所以一定有a >b. ③不一定正确,当ab>0时,1a< 1 b. ④不一定正确,代入特殊值验证. ⑤不一定正确,代入特殊值验证. ⑥一定正确,由c<d可得-c>-d,根据 加法法则可知该不等式成立. ⑦一定正确,由d>c>0可得1c> 1 d>0 , 由乘法法则可知该不等式一定成立. ⑧一定正确,由a>b,ab<0可得a>0,b <0,所以有1a>0> 1 b. 综上 所 述,② ⑥ ⑦ ⑧ 正 确.因 此,本 题 选B. 【变式4】 下列说法中正确的是 ( ) A.如果a>b,那么ac>bc B.如果a>b,那么ac2>bc2 C.如果ac2>bc2,那么a>b D.如果a>b,c>d,那么ac>bd 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋