精品解析：福建省莆田第三中学2024届高三上学期第一次阶段测试数学试题

2023—2024学年上学期高三数学阶段测试 一、选择题，本共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若,则的解集为（ ） A. (0,) B. (-1,0)(2,) C. (2,) D. (-1,0) 3. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为　　 A. B. C. D. 5. 若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有 A. B. C. D. 6. 设：；：，若是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的“可变函数”，区间叫做“可变区间”.若函数是区间上的“可变函数”，则“可变区间”为（ ） A. 和 B. C. D. 8. 函数在定义域内恒满足，其中为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 下列说法中，不正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若对，恒成立，则实数m的最大值为4 D. 若，，，则的最小值为4 10. 已知函数的图象关于直线对称，在时单调递减，且.若，，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 在上有两个极值点 B. 在处取得最小值 C. 在处取得极小值 D. 函数在上有三个不同的零点 12. 已知a，，满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的单调递增区间是__________． 14. 函数的最小值为________． 15. 函数是R上的奇函数，且，若，则_______． 16. 设函数在上存在导数是偶函数.在上.若，则实数的取值范围为____________. 四、解答题 17. 已知． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，命题、其中一个是真命题，一个是假命题，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）判断并证明函数在的单调性. （2）若时函数的最大值与最小值的差为，求的值. 19. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）当时，求函数的极值. 20. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围． 21. 已知函数． （1）讨论函数的奇偶性； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 22. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：(为自然对数的底数)恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年上学期高三数学阶段测试 一、选择题，本共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过解一元二次不等式化简集合，再求其补集. 【详解】因为， 且，所以. 故选：D. 2. 若,则的解集为（ ） A. (0,) B. (-1,0)(2,) C. (2,) D. (-1,0) 【答案】C 【解析】 【详解】 3. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况求解，是转化为二次函数与轴没有交点的问题，然后列出不等式求解即可. 【详解】当时，符合题意； 当时，，即解得， 综上，实数的取值范围是 故选：C 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知函数定义域求得的定义域，再由在的定义域内求得的范围即可得答案． 【详解】函数的定义域为，即， ，则的定义域为， 由，得． 的定义域为． 故选C． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 5. 若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知的对称轴为，且在上为单调递减函数.由，可确定，从而可选择正确选项. 【详解】解：因为函数为偶函数，所以的对称轴为； 又对任意，且有，则 在上为单调递减函数.因为， ，，所以， 即. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的对称轴以及函数的单调区间. 6. 设：；：，若是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解出两个不等式，根据必要不充分条件可得不等式之间的包含关系. 【详解】因为，所以，即， 不等式化为， 解得：， 若是的必要不充分条件， 则有且等号不同时成立，解得. 故选：A 7. 如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的“可变函数”，区间叫做“可变区间”.若函数是区间上的“可变函数”，则“可变区间”为（ ） A. 和 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,分析函数y=f (x)和y=f(x)的单调区间，结合“可变函数”的定义分析可得答案. 【详解】因为的单调递减区间为， 在和上为增函数， 所以的“可变区间”为和， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的单调性的判定以及应用，关键是理解“可变函数”,“可变区间”的含义，属于中档题. 8. 函数在定义域内恒满足，其中为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造新函数并研究其单调性即可. 【详解】令则 由 所以函数在上单调递增 所以 令则 由 所以函数在上单调递减 所以 故选：D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 下列说法中，不正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若对，恒成立，则实数m的最大值为4 D. 若，，，则的最小值为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断A、B，根据基本不等式和双勾函数的性质与应用即可判断C和D. 【详解】①，故A错误； ②且，故B错误； ③，则令，则在单调递减，∴，∴，∴m的最大值为5，故C错误； ④，当且仅当时取等号，∴的最小值为4，故D正确. 故选：ABC. 10. 已知函数的图象关于直线对称，在时单调递减，且.若，，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的对称性的性质，结合指数函数的单调性、对数的运算性质、函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以函数图象关于纵轴对称，因此函数是偶函数， 因为时.单调递减， 所以时.单调递增， ， 因为，函数是偶函数， 所以， 因为， 所以因此选项A正确，B不正确， 由，因此选项C正确， 因为，而，所以，因此选项D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题的关键由函数对称性得到函数的对称性. 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 在上有两个极值点 B. 在处取得最小值 C. 在处取得极小值 D. 函数在上有三个不同的零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数可求得的单调性，结合极值可作出的图象，结合图象依次判断各个选项即可. 【详解】定义域为，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为， 当时，，，恒成立； 可作出图象如下图所示， 对于A，的极大值点为，极小值点为，A正确； 对于B，不是的最小值，B错误； 对于C，在处取得极小值，C正确； 对于D，由图象可知，有且仅有两个不同的零点，D错误. 故选：AC. 12. 已知a，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A、D利用基本不等式即可判断，注意等号成立条件；B由，构造且，利用导数证明不等式；C根据A、B的分析，应用特殊值法判断. 【详解】A：由，即，当且仅当时等号成立，正确； B：由，则且， 令且，则，递减， 所以，，即成立，正确； C： 当时，，错误； D：由，当且仅当时等号成立，正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的单调递增区间是__________． 【答案】 【解析】 【详解】由函数的解析式： ，函数的单调增区间满足： ， 求解不等式可得：函数的单调递增区间是. 14. 函数的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】化简，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：5 15. 函数是R上的奇函数，且，若，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和已知条件，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可 【详解】因为函数是R上的奇函数，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的周期为4， 因为，， 所以， ， ， 所以， 所以 故答案为：6 16. 设函数在上存在导数是偶函数.在上.若，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题目条件得到在上单调递增，将不等式变形得到，结合函数单调性得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】由题意得在上恒成立， 故在上单调递增， 又是偶函数，故在上单调递减， 变形得到， 即，所以， 故， 由于在上单调递增， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 17. 已知． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，命题、其中一个是真命题，一个是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式求出为真命题时的范围，再由是的充分条件，可得是的子集，从而可求出实数的取值范围， （2）两种情况讨论：①真假，②假真，从而可求出实数的取值范围， 【小问1详解】 解不等式，解得，即. 因为是的充分条件，所以是的子集， 故，解得：， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 当时，， 由于命题、其中一个是真命题，一个是假命题，分以下两种情况讨论： ①真假时，，解得； ②假真时，，解得或. 所以实数的取值范围为． 18. 已知函数. （1）判断并证明函数在的单调性. （2）若时函数的最大值与最小值的差为，求的值. 【答案】（1）单调递增，证明如下： 任取，且， 因为，则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义，结合函数解析式，即可判断和证明； （2）根据（1）中所求函数单调性，求得的最大值和最小值，结合题意，即可求得参数值. 【小问1详解】 单调递增，证明略. 【小问2详解】 由（1）知函数在上单调递增， 所以函数的最大值为，最小值为， 所以，即，解得. 19. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）当时，求函数的极值. 【答案】（1） （2）函数的极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）根据极值的定义进行求解即可. 【小问1详解】 ， 因为， 所以函数在点处的切线方程为： ； 【小问2详解】 当时， ， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以函数的极大值为， 极小值为. 20. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值是2，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数在区间上的单调性，进而可得函数在上的最大值和最小值； （2）由已知条件可得有两个不同正根，进而得到，即可求解. 【小问1详解】 解：时，， 令，解得，， 故当时，，函数在区间上单调递增， 当时，，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间仅有极大值点，故这个极大值点也是最大值点， 故函数在区间最大值为是， 又，故． 故函数在上的最小值为． 【小问2详解】 解： 若既有极大值又有极小值，则有两个不同正根， 即有两个不同正根，故应满足， 解得． 21. 已知函数． （1）讨论函数的奇偶性； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，是上的奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数． （2） 【解析】 【分析】（1）按参数a分类讨论函数的奇偶性即可解决； （2）把已知条件转化为成立，是本题关键入手点，接下来按x分类讨论去绝对值符号，保证新建函数最小值非负即可. 【小问1详解】 时，， 对， 所以是上的奇函数； 当时，f(1)＝3＋3a，f(＋f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)， 所以既不是奇函数也不是偶函数． 综上：当时，是上的奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数． 【小问2详解】 因为，所以， 即(x＋1)3＋2(x＋1)＋3a|x＋1|≥＋2x＋3a|x|， 化简得， 因为，所以， 所以， 当时，，所以， 所以； 当时，， 即， 设， ，所以， 时，， 的对称轴方程为， 当时，即时， 在：上单调递增， 所以成立； 当，即时，成立， 所以恒成立； 当，即时， 在上单调递减，， 综上的取值范围为 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 22. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：(为自然对数的底数)恒成立. 【答案】（1）当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）由（1）可知，当时，， 特别地，取，有，即， 所以(当且仅当时等号成立)， 因此，要证恒成立， 只要证明在上恒成立即可. 设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 故当时，，即在上恒成立 因此，有，又因为两个等号不能同时成立， 所以有恒成立. 【解析】 【分析】（1）求导，对参数进行分类讨论判断导函数的正负，最后判断原函数的单调性；（2）由（1）可知， 取，有，即，所以将 等价转化为在上恒成立，接着构造函数，最后证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，恒成立，所以在内单调递增； 当时，令，得，所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 综上所述，当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减. 【小问2详解】 略 【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题． (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $