第6章 6.2.1 向量基本定理-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册笔记(人版B版2019)

第六章平面向量初步 6.2向量基本定理与向量的坐标 6.2.1向量基本定理 一、知识对标 1.共线向量基本定理 定理：如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数A,使得b=Aa. 2.平面向量基本定理 定理：如果e,e:是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一二 对实数入1,2，使a=入1e十入：e2 二、规律方法 1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量：②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是 这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底 2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两 个向量和的形式 (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基 底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决. 三、分类典例赏析 类型一用基底表示向量 【例6一2一1一1】如图，在□ABCD中，E,F分别是BC,DC的中点，G为交 点，若AB=a,AD=b,试以a,b为基底表示DE、BFCG 【解】D正=A花-A正=A弦+B证-币=a十b-b=a-2b, B=症-店=a市+D-A店=b+20-a=b- 1 G是△CBD的重心， -C----(a+). 反思感悟 利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法以及数乘向量进行线性运算，解决此类问题时， 要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识和向量共线定理及平面向量基本定理解决。 类型二平面向量基本定理的应用 【例6一2-1-2】如图所示，在△ABC中，点M在边BC上，且BM=2MC,点N在 边AC上，且AN-3NC,AM与BN相交于点P,设Ci=a,C官-b,用a,b表示C. 【分析】设C币=aC+:C,可得C币=4CN+:Ci.C=C+3CM→ 2 11 即可 3 数学· 41 ☑笔记&必记 【解】设C京=xC+C克， :点M在边BC上，且Bi=2M心，点N在边AC上，且AV=3N元， ..CP=4ACN+CB.CP=ACA+3CM ,P,N,B三点共线，A,P,M三点共线， 2 A+=, a+3=1, -+故-品a+, ⊙反思感悟… 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量 不断转化，直至能用基底表示为止：另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解. 6.2.2直线上向量的坐标及其运算 6.2.3平面向量的坐标及其运算 一、知识对标 L.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，如图，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，a为坐标平面 内的任意向量，以坐标原点O为起点作OP=.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得 OP=xi+,因此a=xi+j.把实数对(xy)叫做向量a的坐标，记作a=(xy). 2.平面向量线性运算的坐标表示 已知a=(1y),b=(xy:). 运算 坐标表示 语言叙述 加法 a十b=(x1+xzy1十y:) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 减法 a-b=(x1-Tey二y:） 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 数乘 aa=(arAy1) 实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积 3.向量AB的坐标表示 设定点A(x1y),B(xy),则A官=(Exy-y 4.点的坐标与向量坐标的区别和联系 表示形式不同 向量a=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号 区别 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，Q=(r,y)的坐标(x,y)既 意义不同 表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(·y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应 指明点(x,y)或向量(x,y) 联系 当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 即：一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标. 42 ·数学