第6章 6.1.1&6.1.2 向量的概念& 向量的加法-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册笔记(人版B版2019)

第六章平面向量初步 第六章平面向量初步 6.1平面向量及其运算 6.1.1向量的概念 一、知识对标 1.位移、速度和力 位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质 量等只有大小的量是不同的。 2.向量的概念 向量的定义 向量的表示 向量的模（长度） ①有向线段：具有方向和长度的线段称为有向线段 在数学中，把 ②向量的表示法 向量A方（或a)的大 既有大小，又 (「)几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A,终点为B,则 小，称为向量A店（或 有方向的量 该有向线段记作：A店 a)的长度，也叫模，记 统称为向量 (引)字母表示法：用黑体小写字母a,b,e,…表示，书写用a,b,c,表示. 作AB(或a) 3.与向量有关的概念 零向量 长度为零的向量称为零向量，记作0 单位向量 与向量a同方向，且长度为单位1的向量，称为a方向上的单位向量，记作a。 自由向量 由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量称为自由向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量，称为相等向量.向量a与b相等，记作a=b 平行（共线》 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线.a与b平行或共 向量 线，记作ab.零向量与任一向量平行 二、规律方法 1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有儿何特征，因此借助于向量，我 们可以将某些代数问题转化为儿何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用. 2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的 向量也是平行向量 3.注意两个特殊向量一零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相 同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆。 三、分类典例赏析 类型一共线向量与相等向量 【例6一1一1一1】如图所示，△ABC的三边均不相等，E,F,D分别是AC,AB,BC的中点. (1)写出与EF共线的向量： (2)写出与E下的模大小相等的向量： (3)写出与E下相等的向量. 【解】(1)因为E,F分别是AC,AB的中点， 数学· 35 ☑笔记&必记 所以EF=专BC.又因为D是BC的中点， 所以与EF共线的向量有F正，BD,D,D元，CD,BC,CB (2)与E苹模相等的向量有F龙，BD,DB,DC.CD (3)与EF相等的向量有DB与CD, 同反思感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反，(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线， 类型二向量的表示及应用 【例6-1一1一2】一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50 的方向走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点. (1)作出向量AB、BC,CD: (2)求AD1. 【解】(1)向量AB,BCCD如图所示. (2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线， D +北100km ABI=CDI. ,.在四边形ABCD中，AB=CD 西50 B A ∴四边形ABCD为平行四边形， 东 南 ..AD=BC,..ADI=IBCI=200 km. O反思感悟… 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再璃定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点， 6.1.2向量的加法 一、知识对标 1.向量的加法法则 已知非零向量a,b,在平面上任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的 和，记作a+b,即a十b=AB+BC=A亡 三角形法则 向量求和 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 的法则 对于零向量与任一向量4的和有a十0=0十a=a 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作□OACB,则以O为起点的对角线O心 就是α与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 平行四边形 法则 a+ 2.向量求和的多边形法则 向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则，n个向量经过平移，顺次使前一个向量 的终点与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量，即A。A 36 ·数学 第六章平面向量初步 +A,A+…+A.-A=A.A 3.向量加法的运算律 (1)交换律：a十b=b十a: (2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 二、规律方法 1,三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连 时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则， 2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行， 3.使用向量加法的三角形法则时要