第09讲 双曲线及其性质-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第09讲 双曲线及其性质 【人教A版2019】 ·模块一 双曲线的定义和标准方程 ·模块二 双曲线的几何性质 ·模块三 课后作业 模块一 双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 【考点1 曲线方程与双曲线】 【例1.1】（2023秋·高二单元测试）方程表示的曲线，下列说法错误的是（   ） A．当时，表示两条直线 B．当，表示焦点在x轴上的椭圆 C．当时，表示圆 D．当时，表示焦点在x轴上的双曲线 【例1.2】（2023春·全国·高二开学考试）已知曲线的方程为（），若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或5 D． 【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1.2】（2023秋·湖南常德·高二校考期末）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线为椭圆，其焦距为 B．当时，曲线为双曲线，其离心率为 C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切 【考点2 利用双曲线的定义解题】 【例2.1】（2023·全国·高二专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023秋·广东广州·高三校考开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023·高二课时练习）设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．12 C． D． 【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A．- B．-1 C．- D．-2 【考点3 双曲线的标准方程的求解】 【例3.1】（2023·全国·高二专题练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023秋·广东揭阳·高三校考开学考试）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023·高二课时练习）如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 模块二 双曲线的几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出