专题13 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略(浙教版）

专题13 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 1 【考点二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 11 【考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 20 【考点四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 26 【考点五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 31 【考点六 相似三角形中的动点探究应用问题】 42 【典型例题】 【考点一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为 ． 【变式训练】 1．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，是的直径，弦．若动点以的速度从点出发沿着的方向运动，点从点出发以沿着的方向运动，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动时间为，当是直角三角形时， ． 2．（2023·辽宁丹东·校考一模）如图，在中，，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动；同时点Q从点A出发以同样的速度沿A→C→B匀速运动．当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形． 3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ (2)当t为何值时，△APQ的面积为？ 4．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考阶段练习）如图（1），在四边形中，，，， ，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），． (1)用含t的代数式表示； (2)当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； (3)如图（2），延长、，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，直接写出t的值． 【考点二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：（2023春·江西九江·九年级统考期中）如图，菱形的边长为10，对角线相交于点O，，点P是上一点，，Q为上一动点，若以A，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形，则的长为 ．    【变式训练】 1．（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）如图，在中， ，，，点是上的一点，，是和上的一动点，直线把该三角形分成一个三角形和一个四边形，当被分成的三角形与原三角形相似时，的长为 ．    2．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 3．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，点P是直线上的一个动点．若△APE是直角三角形，则的长为 ． 【考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 例题：（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 . 【变式训练】 1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期中）如图，点A是半径为2的上一点，点C是上一动点（不与点A重合），以C为直角顶点画等腰直角，O，C在直线的两侧，则线段长的最小值为 ．    2．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为 ．    3．（2023·江苏南通·统考三模）已知，如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，的长为 ．    【考点四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 例题：（2023·安徽·校联考一模）如图，中，，，，点D是边上一动点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，点P在边上，连接，若，的面积为y，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A．B．C． D． 【变式训练】 1．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知：在中，，，