第一章 特殊平行四边形 专题练习四 与正方形有关的四个常考模型（作业课件）-【四清导航】2022-2023学年九年级数学上册（北师大版）河南

四清导航 6 数学九年级上册北师版 第一章 特殊平行四边形 专题练习四与正方形有关的四 个常考模型 模型一正方形中相交垂线段问题 1.(教材P21例1变式)如图，正方形ABCD中，点E,F分别在AD,CD上， 且DE=CF,AF,BE相交于点G. (1)BE与AF之间有怎样的关系？请说明理由： (2)若将题干中的“DE=CF”改为“∠BGF=90°”，则AE与DF的数量 关系是AE=DF E 解：()BE=AF,BE⊥AF理由如下：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=DC,∠BAD=∠D=90°.又.'DE=CF,.AD-DE= DC-CF,..AE=DF,.△BAE≌△ADF,.∴.BE=AF,∠ABE= B ∠DAF.,∠DAF十∠BAG=90°，，∴.∠ABE十∠BAG=90°，.∠ AGB=90°，..BEL⊥AF 2.(模型运用)在正方形ABCD中，动点E,F分别从D,C两点同时出发，以相 同的速度在直线DC,CB上移动. (1)如图①，当点E自点D向点C,点F自点C向点B移动时，连接AE和DF交于点 P,请你写出AE与DF的关系，并说明理由： (2)如图②和图③，当点E,F分别在边DC,CB的延长线及反向延长线上移动 时，连接AE和DF,()中的结论还成立吗？无需证明. F B 图① 图② 图③ 解：()AE=DF,AE⊥DF;理由如下：四边形ABCD是正方形， AD=DC,∠ADC=∠C=90°.，动点E,F分别从D,C两点同时出发，以 相同的速度在直线DC,CB上移动，∴.DE=CF,.△ADE≌△DCF, AE=DF,∠DAE=∠CDF..'∠CDF+∠ADF=90°，∴.∠DAE+∠ADF =90°，∴.∠APD=90°，.AE⊥DF (2)成立 模型二正方形中过对角线交点的直角问题 3.(教材P25习题T4变式)如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O, 且O是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E,OC1交BC于点F. (1)求证：△AOE2△BOF; (2)如果两个正方形的边长都为a,那么正方形A1B1C1O绕点O转动，两个正 方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ B 4.(转化思想)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,且点O是正方形 A1B1C1O的一个顶点，这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①∠OEF =45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF面积随EF的长度变化而 变化；③△BEF周长的最小值为(1+)OA;④AE2十CF2=2OB2.其中所有正确结 论的序号是 ①③ B B 【模型归纳】(1)△ABC是等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，连接OC, 则△DOC≌△EOB,△ADO≌△CEO: (2)在正方形ABCD中，O为对角线的交点，∠EOF绕，点O顺时针旋转，且∠ EOF=90°，若OE,OF分别与DA,AB的延长线交于点G,H,则△AGO≌△ BHO,△OGH是等腰直角三角形. 模型三 正方形中的“外角平分线”模型 5.已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF,且直 线EF交正方形外角的平分线CF于点F. (1)如图①，求证：AE=EF; (2)如图②，当AB=2,点E是边BC的中点时，请直接写出CF的长. M B 图①D 图②