1.2 空间向量基本定理-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

1.2 空间向量基本定理 第 一 章空间向量与立体几何 人教A版2019选修第一册 学习目标 1.了解空间向量基本定理及其意义； 2.掌握空间向量的正交分解； 3.能够用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。 01复习回顾 PART ONE 复习回顾 （1） 向量共线 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb （2） 向量共面 三个向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量. 思考：这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ 情景导入 02空间向量基本定理 PART ONE 空间向量基本定理 观察右图并回答以下问题，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，在AB，AD，AD1上分别取单位向量e1，e2，e3. 问题1：e1，e2，e3共面吗？ 不共面 问题2：试用e1，e2，e3表示 问题3：若，M为A1B1的中点试用e1，e2，e3表示 空间向量基本定理 因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ 。 如图，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则=+,又向量，共线，因此存在唯一实数z，使得，从而=+ ， 而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得=xi+ .从而，=+ = xi+ . 我们称 xi, 分别为向量p在上的分向量。 空间向量基本定理 如果三个向量,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=x +yb+zc. 空间向量基本定理 基底 我们把定理中的叫做空间的一个基底, ,b,c都叫做基向量. 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 空间向量基本定理 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示. 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量xi,yj,zk, 使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 单位正交基底 空间向量基本定理 思考1：基底中能否有零向量？ 不能，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面. 思考2：空间向量的基底唯一吗？ 不唯一，只要三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底。 思考3：基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示吗？不同基底下，同一个向量的表达式都相同吗？ 基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示，不一定相同，不同基底下，同一个向量的表达式也有可能不同. 空间向量基本定理 思考4：基底与基向量的概念有什么不同？ 一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量. 二者是相关联的不同概念 . 平移向量a，b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线， 在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的， 因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的． 思考5：为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？ 03空间向量基本定理的应用 PART ONE 基底的辨析 1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)空间向量的基底是唯一的.(　　) (2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.(　　) (3)已知A,B,M,N是空间四点,若 , , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(　　) (4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(　　) × √ √ √ λ 基底的辨析 2.已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　) A．a　　　　　B．b C．a＋2b D．a＋2c 解析：能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝，∴A、B、C都不合题意，由于{a，b，c}构成基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底． 答案：D λ 基底的辨析 3.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1