专题08 解三角形及其应用（思维导图+知识梳理+方法技巧+易混易错）-【口袋书】2024年高考数学一轮复习知识清单（新高考专用）

专题08 解三角形及其应用 一、知识速览 二、考点速览 知识点1 正、余弦定理及变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 知识点2 三角形常用面积公式 1、S＝a·ha(ha表示边a上的高)； 2、S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； 3、S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 知识点3 解三角形中的常用结论 1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2、三角形中的三角函数关系 （1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C； （3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin . 3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4、三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 知识点4 测量中几个术语的意义及图形表示 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 一、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 【典例1】（2023秋·北京·高三统考开学考试）在中，，且，则 ， ． 【典例2】（2022秋·云南保山·高三统考）（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【典例3】（2023秋·河南·高三郑州外国语学校校考）如图，三角形的内角，，所对的边分别为，，，． （1）求． （2）若，，，求的长． 二、判定三角形形状的两种常用途径 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 【典例1】（2023·甘肃酒泉·统考三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【典例2】（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【典例3】（2023秋·福建三明·高三三明一中校考开学考试）在中，，，则的形状为 ． 三、解三角形中的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正