5.1.1变化率问题 课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题 人教A版（2019） 选择性必修第二册 新知导入 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢，“指数爆炸”比“直线上升”快得多. 进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题. 变化率问题 新知讲解 问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 新知讲解 从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快. 把整个运动时间段分成许多小段，用每段时间内的 平均速度 近似地描述其运动状态. 例如，在这段时间里， 一般地，在这段时间里， 平均速度 新知讲解 思考 计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 提示： 新知讲解 探究 瞬时速度与平均速度有什么关系？ 求运动员在 t=1 s 时的瞬时速度？ 设 在时刻附近某一时间段内的平均速度是，缩短这一时间段的长度，那么将趋近于在时刻的瞬时速度. 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 不断缩短时间间隔，得到如下表格. 合作探究 观察 当无限趋近于0时，平均速度 有什么变化趋势？ 提示： 当无限趋近于0，平均速度 无限趋近于-5. 合作探究 由 知，当 无限趋近于0时，无限趋近于0， 无限趋近于-5. 这与前面观察的结论一致. 把-5叫做“当无限趋近于0时， 的极限”记为 从物理角度看， ， 平均速度 趋近于t=1时的瞬时速度. 瞬时速度 合作探究 思考 （1）求运动员在t=2 s时的瞬时速度； （2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？ 提示： （1） （2） 合作探究 问题2 抛物线的切线的斜率 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 下面我们以抛物线 为例进行研究. 合作探究 探究 如何定义抛物线 在点 处的切线？ 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线点处的切线，通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况. 当点P无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线. 合作探究 记，则点P的坐标是. 则割线的斜率 曲线割线的斜率 合作探究 切线的斜率 当无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率k都无限趋近于2 由 知，当无限趋近于0时，无限趋近于2. 把2叫做“当无限趋近于0时， 的极限”，记为 点P 点， 割线处的切线 合作探究 思考 观察问题1中的函数的图形（图5.1-2）， 平均速度 的几何意义是什么？ 瞬时速度v(1)呢？ 提示： 平均速度 的几何意义是：表示过曲线 上两点（1，h(1)）、 连线的斜率 瞬时速度v(1)的几何意义是： 表示运动员在1s时速度向下，为5 m/s . 课堂练习 1 平均变化率也可以用式子表示，其中 的意义是什么？有什么几何意义？ 解： 是相对于的一个增量，且 值可正可负，但不能为零. 观察图象，可以看出， 表示曲线 y= f(x) 上两点、连线的斜率 课堂练习 2 已知函数，求 f(x) （1）从0.1到0.2的平均变化率； （2）在区间上的平均变化率. 解：（1） ∴ （2） 因为函数 所以函数 f(x)在区间上的平均变化率为： 课堂练习 3 某河流在一段时间 x min内流过的水量为y ，y是x的函数， . 问：当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解： 当 x 从 1 变到 8 时，y 关于 x 的平均变化率是 它表示时间从1min增加到8min的过程中， 每增加1min，水流量平均增加 课堂练习 求函数 在x=1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？ 解