专题1.1 二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.1 二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）

【知识点一】二次函数知识结构

【知识点二】二次函数有关概念

（1）定义：一般的，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数.

（2）、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数.

【知识点三】二次函数的解析式

（1）三类解析式

一般式：（a、b、c是常数，）；

顶点式：（），二次函数的顶点坐标是（h，k）；

交点式：（），其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．

（2）待定系数法求解析式

①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）；

②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；

③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.

【知识点四】二次函数的图象与性质

开口 方向		a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.
对称轴		y轴	y轴	x=h	x=h
顶点 与 最值		（0，0）	（0，k）	（h，0）	（h，k）
		a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或）； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或）.
增 减 性	a>0	x<0（h或）时，y随x的增大而减小；x>0（h或）时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
	a<0	x<0（h或）时，y随x的增大而增大；x>0（h或）时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
对称性	1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.

【知识点五】二次函数的图象与各项系数之间的关系

（1）的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下.

的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大.

（2）、b的符号共同决定对称轴的位置

当时，，对称轴为y轴；

当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；

当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）

（3）c决定抛物线与轴的交点的位置

当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；

当c＝0时，抛物线经过原点；

当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.

【知识点六】二次函数图象的变换

（1）图象的平移：任意抛物线y＝a（x－h）2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下：

（2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.

【知识点七】二次函数与一元二次方程

二次函数（）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根.

（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；

（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；

（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.

【知识点八】二次函数与不等式

（1）抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；

（2）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集.

【知识点九】二次函数的应用

（1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内.

（2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.

（3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.

（4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题