专题1.1 二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.1 二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】二次函数知识结构 【知识点二】二次函数有关概念 （1）定义：一般的，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. （2）、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 【知识点三】二次函数的解析式 （1）三类解析式 一般式：（a、b、c是常数，）； 顶点式：（），二次函数的顶点坐标是（h，k）； 交点式：（），其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． （2）待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 【知识点四】二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 （0，0） （0，k） （h，0） （h，k） a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或）； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或）. 增 减 性 a>0 x<0（h或）时，y随x的增大而减小；x>0（h或）时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0（h或）时，y随x的增大而增大；x>0（h或）时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 【知识点五】二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. （2）、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴； 当a、b同号时，，对称轴在y轴左边； 当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） （3）c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 【知识点六】二次函数图象的变换 （1）图象的平移：任意抛物线y＝a（x－h）2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： （2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 【知识点七】二次函数与一元二次方程 二次函数（）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. （1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； （2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； （3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【知识点八】二次函数与不等式 （1）抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； （2）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 【知识点九】二次函数的应用 （1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. （2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. （3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. （4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 【考点一】二次函数➼➼➻有关概念 【例1】（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）已知函数的图象是一条抛物线，求这条抛物线表达式． 【答案】 【分析】根据题意知，函数是二次函数，则，且，据此可以求得的值． 解：∵函数的图象是一条抛物线， ∴函数是二次函数， ，且， 解得，， 该函数的解析式为：． 【点拨】此题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意． 【举一反三】 【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（    ） A． y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+ 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意； B、y=ax2+bx+c，当时，不是二次函数，不符合题意； C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意； D、y=x