1.2.3　直线与平面的夹角-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教B版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 123直线与平面的夹角 学业标准 素养目标 1理解直线与平面的夹角的定义，并能用向量 1通过对直线与平面夹角的学习，培养学生直 语言表述直线与平面的夹角.（重点、难点） 观想象以及数学抽象等核心素养 2.能利用向量方法解决直线与平面的夹角问 2.通过利用向量方法解决直线与平面的夹角 题.（难点） 的学习，培养学生逻辑推理等核心素养 /课前案必备知识·自主学习 /通骚材·理疑知·套养初成 [教材梳理] 导学1直线与平面的夹角 间题如图所示，在正方体 ABCD-A1B1CD1中. (1)cos∠AC1B= (2)4C1与B1C所成的角 [提示](1)cos∠ACB=6)3 2〈，)=2 ©结论形成 1.直线与平面所成的角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为90°。 (2)如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面 所成的角为0 (③)平面的斜线与它在平面内的射影所成的角，称这条斜线与这个平面所成的 角 2.斜线与平面所成的角的性质 如图所示，设AO是平面的一条斜线段，O为斜足，A'为A在平面a内的射影，而 OM是平面a内的一条射线，A'M⊥OM记∠AOA'=01,∠A'OM=02,∠AOM=日 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)cos0=c0501co502: (2)平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角的最小角： (③)空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所 成的角也称为它们的夹角： (4)经过平面外一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长，射影长及斜线与平面所成的角， 只要有一个相等，则另外两个也对应相等·导学2用空间向量求直线与平面的夹 角 间题，欢是空间中两条直线，飞的两个方向向量，0是两条直线所成的角，0与 ,2有什么关系？ [提示]0=〈，2〉或0=n-〈1,2〉. ◎结论形成 如果o是直线I的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线I与平面a所成角的大 小为8 (1)8=x2-〈，n)或0=〈0，n)-2· (2)cos0=sn〈，n)或sin0=lcos(,n)⊥· [基础自测明 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） ()直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.() (2)直线与平面所成的角的取值范围是0,2).() (3)直线与平面所成的角a与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角B互余.() (4)斜线与平面所成的角是斜线与这个平面内所有直线所成角中的最小角.() 答案(1)×(2)√(3)×(4)√ 2.已知线段AB=8,AB在平面a内的射影长为4，则直线AB与平面a所成的角0为() A.30 B.60 C.90 D.120 解析由题意得c0s9=48=12,∴.9=60° 答案B 3.已知向量m,n分别是直线1和平面a的方向向量、法向量，若cos(m,n〉=12， ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则直线1与平面a所成的角为( ) A.30° B.60 C.120° D.150 解析由cos〈m,n〉=I2,得〈m,n）=60°， ∴.直线1与平而a所成的角为90°一60°=30°. 答案A 4.己知点P是正三角形ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=23,AB=1,则PC和平 面ABC所成的角是( ) A.90 B.60 C.45 D.30 解析设P点在平面ABC内的射影为O,则O为外心，且AB⊥OC, ∴.∠PC0为所求.由题可得OC=23×3)2=33, PC=23,∴.cos∠POC=3)2,∴.∠PC0=30 答案D /课堂案关键能力·互动探究 /见规伸·桥方法·者养提开 题型一利用定义求直线与平面的夹角 例已知正方体ABCD4B1CD1的体积为162，点P在面A1B1CD上，且A1,C到 P的距离分别为2,23，求直线CP与平面BDDB1所成角的正弦值. [自主解答】如图所示： D C D 设正方体的边长为a,则a3=162,故a=22,即AB=22, .AC1=2a=4,C P,C P=21CP2-CC=bVcre)(alvs4lallcol(2r(3)))2- buc\rcV)(alvs4allcol(2r(2)))2=2, AP=2,则点P在A1C1上且为中点，连接AC与BD交于O,连接OP, 可知AC⊥平面BDDB1,则∠CPO为直线CP与平面BDDB1所成的角， 在Rt△CPO中，∴.s