4.4数学归纳法教案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4数学归纳法教学设计 课题 数学归纳法 单元 第一单元 学科 数学 年级 高二 教材分析 《数学归纳法》是2019人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节课的主要内容是数学归纳法的原理及其应用。前面学生已经初步掌握了由有限多个特殊实例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，在此基础上，进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。 数学归纳法学习是数列知识的深入与拓展，是一种重要的数学方法，可以使学生学会一种研究数学的科学方法。数学归纳法的优点是，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辩证统一的体现。此外，本节内容也是培养学生严谨的推理能力，训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。 教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 数学归纳法的原理 2逻辑推理： 运用数学归纳法证明数学命题 3数学运算： 数学命题的证明 4数学建模： 运用多米诺骨牌建立数学归纳法概念 5直观想象： 体会类比的数学思想，感受有限思维发展到无限思维的思维历程 重点 数学归纳法的基本思想和本质，掌握它的基本步骤 难点 理解数学归纳法的证题的严密性和有效性 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 情景1：某人看到树上有一只乌鸦，深有感触“天下乌鸦一般黑”这个结论是否正确呢？ 情景2： 《田舍翁之子学书》（明朝刘元卿的《贤弈篇·应谐录》）即财主的儿子学写字. 文中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”这个结论是否正确呢？ 情景3：如果{}是一个等差数列，怎样得到 ？ 等差数列{}的首项为，公差为d. 那么 ， , ， ， …… 归纳可得 以上情景都是不完全归纳法的体现，发现其结果不一定正确。 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 情景引入 设置情景，激发兴趣。复习之前学过的知识，承上启下。 讲授新课 在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列的通项公式 等，但并没有给出严格的数学证明. 那么，对于这类与正整数n有关的命题，我们怎样证明它对每一个正整数n都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法. 探究 已知数列满足 ，，计算猜想其通项公式，并证明你的猜想. 计算可得 再结合 ，由此猜想： . 如何证明这个猜想呢？我们自然会想到从n=5开始一个个往下验证. 一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证时不可能的.因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法： 通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立. 我们先从多米诺骨牌游戏说起. 码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下.这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……. 总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下. 思考 在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 思考 你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述它？ 可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：第k块骨牌倒下 第k+1块骨牌倒下. 这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下. 思考 你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 显然，如果能得到一个类似于“第k块骨牌倒下 第k+1块骨牌倒下”的递推关系，那么猜想的正确性也就得到证明了.为此，我们先回顾一下猜想的获得过程： 由 ，利用递推关系，推出； 由 ，利用递推关系，推出； 由 ，利用递推关系，推出； …… 思考 归纳上述过程的共性，你能得出推理的一般结构吗？ 我们发现，上述过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构： 以 成立为条件，推出 也成立. 它相当于命题： 当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立. 只要能够证明这个命题，我们就可以在 的条件下，由这个命题得到：对任意正整数n， 成立. 事实上，如果n=k时猜想成立，即， 那么 即 当n=k+1时，猜想也成立. 这样，对于猜想“”，由n=1成立，就有n=2成立；由n=2成立，就有n=3成立；……，所以，对于任意正整数n，猜想都成立，即数列的通项公式是 . “骨牌原理”与“猜想的证明步骤”对比分析