期中专题02 空间向量与立体几何大题综合 -【备战期中必刷真题】2023-2024学年高二数学上学期期中考试真题必刷满分训练（新高考河北专用）

期中专题02 空间向量与立体几何大题综合 备考秘籍 1. 空间中的平行关系 （1） 线线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 2. 空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 （2） 线面垂直的判定定理 一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 （4） 面面垂直的判定定理 一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） （5） 面面垂直的性质定理 两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 3. 异面直线所成角 = （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 4. 直线与平面所成角，(为平面的法向量). 5. 二面角的平面角 （，为平面，的法向量）. 6. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 真题训练 一、解答题 1．（2022秋·河北秦皇岛·高二校考期中）如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点到平面的距离. 2．（2022秋·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学统考期中）如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，三角形ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1=AA1=1，D为A1C1的中点. (1)证明：AC⊥BD； (2)求直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值. 3．（2022秋·河北秦皇岛·高二校考期中）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点． （1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证： （2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：． 4．（2021秋·河北·高二校联考期中）已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△P'AB为等边三角形（如图1所示），△P'AB沿着AB折起到△PAB的位置，且使平面PAB⊥平面ABCD，M是棱AD的中点（如图2所示）． (1)求证：PC⊥BM； (2)求直线PC与平面PBM所成角的余弦值． 5．（2021秋·河北唐山·高二统考期中）如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点． (1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦； (2)求点A到平面BDF的距离． 6．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）如图，三棱柱所有的棱长为2，，M是棱BC的中点. （Ⅰ）求证：平面ABC; （Ⅱ）在线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC 所成角的正弦值为? 若存在，求出CP的值; 若不存在，请说明理由. 7．（2022秋·河北保定·高二校考期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成的角的余弦值． 8．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明： (1)； (2)平面． 9．（2022秋·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考期中）如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 10．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）如图，在三棱锥中，为正三角形，D为的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若O为中点，求平面与平面夹角； (3)求点D到平面的距离． 11．（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的动点，． (1)证明：平面； (2)当为何值时，平面与平面所成的夹角最小？ 12．（2022秋·河北沧州·高二任丘市第一中学校考期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，E为PC中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 13．（2022秋·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学统考期中）设全体空间向量组成的集合为，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”；. (1)