专题21.13配方法的应用及材料阅读题大题专练（重难点培优60题）-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版） 专题21.13配方法的应用及材料阅读题大题专练（重难点培优60题） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 一．解答题（共40小题） 1．（2022秋•西宁期末）阅读下列材料： 用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1；同样，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a＝0时，才能得到这个式子的最大值1． （1）[材料理解]当x＝　3　时，代数式﹣3（x+3）2+4有最 　大　（填写“大或小”）值为 　4　； （2）[类比应用]求证：关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+1＝0总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）3，大，4； （2）见解析． 【分析】（1）根据非负数得性质得﹣3（x+3）2≤0所以当x＝﹣3时，式子有最大值4； （2）由题意得Δ＝（k﹣3）2﹣4×（﹣2k+1），整理得Δ＝（k+1）2+4，即可判断Δ＝（k+1）2+4≥4＞0，进而得证结论． 【解答】（1）解：代数式﹣3（x+3）2+4， ∵﹣3（x+3）2≤0， ∴当x＝﹣3时，式子有最大值4， 故答案为：3，大，4； （2）证明：由题意可知，Δ＝（k﹣3）2﹣4×（﹣2k+1） ＝k2﹣6k+9+8k﹣4 ＝k2+2k+5 ＝k2+2k+1+4 ＝（k+1）2+4， ∵（k+1）2≥0， ∴Δ＝（k+1）2+4≥4＞0， ∴关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+1＝0总有两个不相等的实数根． 【点评】考查了配方法的应用，用配方法解一元二次方程，利用配方法将二次三项式配方，即可求出最值． 2．（2023春•武侯区校级期中）（1）已知a+b＝5，ab＝2，求a2+b2﹣3ab的值； （2）已知等腰△ABC的三边长a，b，c均为整数，且满足a2+b2﹣4a﹣6b＝﹣13，求△ABC的周长． 【答案】（1）15； （2）△ABC的周长为7或8． 【分析】（1）利用配方法将a2+b2﹣3ab配方成（a+b）2﹣5ab，再将a+b＝5，ab＝2代入即可求解； （2）利用配方法将a2+b2﹣4a﹣6b＝﹣13配方成（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0，根据非负数的性质得到a＝2，b＝3，根据△ABC为等腰三角形对c的值进行讨论，再分别算出△ABC的周长即可． 【解答】解：（1）a2+b2﹣3ab ＝（a2+2ab+b2）﹣5ab ＝（a+b）2﹣5ab， ∵a+b＝5，ab＝2， ∴原式＝52﹣5×2＝15； （2）∵a2+b2﹣4a﹣6b＝﹣13， ∴a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0， ∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣6b+9）＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0， ∴a＝2，b＝3， ∵等腰△ABC的三边长a，b，c均为整数， ∴c＝2或c＝3， ∴a+b+c＝2+3+2＝7或a+b+c＝2+3+3＝8， ∴△ABC的周长为7或8． 【点评】本题主要考查配方法的应用、非负数的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 3．（2023春•泾阳县期中）已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，求x+y+z的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据非负数的性质分别求出x、y、z，代入计算即可． 【解答】解：x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0， x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9＝0， （x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2＝0， 则x﹣1＝0，y+2＝0，z﹣3＝0， 解得，x＝1，y＝﹣2，z＝3， 则x+y+z＝2． 【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键． 4．（2022春•金牛区校级月考）已知a2+b2﹣4a+6b+13＝0，求ab的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】将原方程左边配成两个完全平方的和，再根据非负数的性质可得a、b的值，代入计算可得． 【解答】解：∵a2+b2﹣4a+6b+13＝0，即a2﹣4a+4+b2+6b+9＝0， ∴（a﹣2）2+（b+3）2＝0， 根据非负数性质得：a﹣2＝0，b+3＝0，解得：a＝2，b＝﹣3， 则ab＝2﹣3． 【点评】本题主要考查配方的能力，熟练掌握完全平方式的特点是解题关键． 5．（2022春•雅安期中）已知：x2+y2+z2﹣2x﹣4y﹣6z+14＝0，求（xz）y的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据非负数的