1.1 集合的含义与表示（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019必修第一册）

集合的含义与表示 元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员). 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合. ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别. 若集合，就意味且. ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，. 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  Eg：菱形，. 脑筋急转弯 你能证明上帝不是万能的么？ 答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？) 常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 集合的分类 有限集，无限集，空集. Eg：奇数集属于无限集，. 集合的表示方法 ① 列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. ② 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  Eg： ———方程的解，即；  ———不等式的解集，即；  ———函数的定义域，即； ———函数的值域，即；  ———函数的图像，它是个点集. 【题型一】集合的元素特征 【典题1】下列说法正确的是 ( )  某个村子里的高个子组成一个集合；  所有小的正数组成的集合；  集合和表示同一个集合；  这些数组成的集合有五个元素.  【解析】由于高个子、小的没有一个明确的标准，的对象不具备确定性； 中的三个数相等，相等，故集合只有个元素； 集合具有无序性，所以是正确的；故选. 【点拨】本题考核集合元素的三要素. 巩固练习 1 (★) 下列各组对象能构成集合的是(　　) A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4 【答案】 B 【解析】 选项不满足集合的确定性；集合正方形是确定的， 故能构成集合；选项不满足集合的互异性． 故选：． 2(★) 集合中，应满足的条件是(　　) 【答案】 【解析】 集合中且且 解得：且且 故选：． 3(★) 以实数为元素所组成的集合最多含有(　　)个元素． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【解析】当时此时集合共有2个元素； 当时此时集合共有1个元素； 当时此时集合共有2个元素， 故由以实数为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个． 故选：． 【题型二】元素与集合的关系 【典题1】设集合，若则 . 【解析】 或， 若则此时； 若则或 时，； 时则不符合集合的互异性，故. 综上 或． 【点拨】 本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系； 当时此时不符合集合的互异性，故. 故求出集合后最好做下检查. 巩固练习 1(★) 下面有四个命题： (1)集合中最小的数是； (2)是自然数； (3)是不大于的自然数组成的集合；(4)，则不小于. . 其中正确的命题的个数是 ( ) A．１个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解析】 (1)集合中最小的数是0，(2)对，(3)不大于的自然数组成的集合是，(4)因为，所以可能小于，因此只有(2)是对的，故选A. 2(★★) 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】 【解析】根据题意，分4种情况讨论； ①、全部为负数时，则xyz也为负数，则， ②、中有一个为负数时，则xyz为负数，则， ③、中有两个为负数时，则xyz为正数，则， ④、全部为正数时，则也正数，则； 则； 分析选项可得符合． 3(★★) 若集合满足对任意的，有，则称集合为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是(　　) A．自然数集 B