7.3 复数的三角表示-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

7．3*　复数的三角表示 课时5　复数的三角表示式 1. 通过复数与向量的一一对应，引导学生用刻画向量大小的模和向量方向的角来表示复数，得到复数的三角表示式． 2. 使学生能够通过运算的需要将复数的三角形式和代数形式进行互化． 3. 类比代数形式表示的两个复数相等的充要条件帮助学生得出三角形式表示的两个复数相等的充要条件． 课程目标 学科核心素养 了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式 在推导复数三角表示式的过程中发展直观想象、逻辑推理和数学运算素养 了解复数的代数形式与三角形式之间的关系，会进行两种形式之间的转换，探究得到用三角形式表示的两个复数相等的充要条件 在知识的探究和发现中，感受数形结合、转化与化归等基本数学思想，培养数学抽象、逻辑推理等素养 你听说过“数学中的天桥”公式吗？这便是欧拉公式：eix＝cosx＋isinx，其中e是自然常数，i是虚数单位．之所以称其为天桥公式，是因为它把复数、指数函数、三角函数联系起来了，那么复数和三角函数之间是如何建立联系的？ 设计意图　温故而知新，通过引发学生思考，为引入复数的三角表示式做铺垫．借助数学史的呈现激发学生的好奇心和探究欲． 任务1　探究复数的三角表示式 1. 一般地，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中，r是复数z的模(r≥0)；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ＋isinθ)(r≥0)叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来，a＋bi(a，b∈R)叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 2. 我们规定在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，即0≤argz<2π. 活动1　类比向量的两个要素得到表示复数的要素，进而得到复数的三角表示式 问题1　你能用向量的模和表达向量方向的角θ来表示复数z吗？ 【提示】 复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．复数z的对应点为点Z，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用点Z(a，b)表示．r是复数z的模，观察图1可得r＝，a＝rcosθ，b＝rsinθ，所以z＝rcosθ＋irsinθ＝r(cosθ＋isinθ)，其中θ叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角．z＝r(cosθ＋isinθ)(r≥0)叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来，a＋bi(a，b∈R)叫做复数的代数形式． 图1 问题2　sin＋icos是复数的三角形式吗？并说出你的理由． 【提示】 不是三角形式．结合图形，复数所对应点的横坐标对应于辐角的余弦值，纵坐标对应于辐角的正弦值．复数三角形式的结构为余弦在前，正弦在后． 设计意图　从图象上让学生直观感受向量的模及方向与向量横、纵坐标之间的关系，从而引进r，θ，引进三角函数来表达向量的坐标． 活动2　进一步认识复数的三角表示式 问题3　结合已掌握的辐角的概念，思考一个复数的辐角的值有多少个．这些辐角之间有联系吗？ 【提示】 利用终边相同的角的特点，容易得出一个复数的辐角的值有无穷多个．这些辐角的值之间相差2π的整数倍． 问题4　若复数为0，它对应的向量为零向量，那么它的辐角是哪个角？ 【提示】 复数0对应的是零向量，零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的，而不是0. 问题5　复数辐角的多值性有时会给我们研究问题带来不便，为了使任意一个非0的复数都有唯一的值作为辐角的代表值，联系你学过的两向量所成角的范围，你认为这个代表值在哪个范围比较方便？ 【提示】 在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值作为辐角的主值比较方便．通常记作argz(0≤argz<2π). 问题6　根据以上的问题，请你思考三角形式表示的两个复数相等的充要条件是什么． 【提示】 z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则z1＝z2⇔r1＝r2且θ1－θ2＝2kπ，其中k∈Z.或者可以概括为三角形式表示的两个复数相等的充要条件为模与辐角的主值都相等． 设计意图　在问题中让学生思考知识的合理性，进一步认识三角表示式，同时体会数学规定的合理性． 任务2　探究复数的三角形式和代数形式的互化 活动3　寻找复数的三角形式和代数形式之间的联系，得到两种形式的互化公式 问题7　复数的代数形式唯一吗？复数的三角形式呢？ 【提示】 代数形式是唯一的，三角形式不唯一，例如1＝cos0＋isin0＝cos2π＋isin2π＝… 问题8　复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．设z＝a＋bi(a，b∈R)，