5.3实系数一元二次方程的解法教学设计-2022-2023学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

授课题目 5.3实系数一元二次方程的解法 选用教材 高等教育出版社《数学》 （拓展模块一上册） 授课时长 1课时 授课类型 新授课 教学提示 本课首先指出在数系得以扩充后，解决了负数开平方的问题，抛出问题“当时，如何求解一元二次方程ax2＋bx＋c=0？”引发思考，然后引导学生经历求根公式的推导过程，深入体会基于方程有解的需要促使数系的扩充．数系的扩充解决了一元二次方程在实数范围内无解这一问题，从而全面认识不同情况下实系数一元二次方程的解法，更深刻理解数系扩充的意义． 教学目标 知道实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数范围内求解实系数一元二次方程；知道实系数一元二次方程有虚根时根与系数的关系；培养和提升数学运算和逻辑推理等核心素养. 教学重点 在复数范围内求解实系数一元二次方程． 教学难点 实系数一元二次方程有虚根时根与系数的关系． 教学环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 情境导入 方程 x²+1=0 在实数集R内无解.在复数集C中，因为i²=(-i)²=-1，所以方程有两个虚数解x1,2=±1. 一般地，对于实系数一元二次方程ax²+bx+c=0，当Δ=b²-4ac≥0时，方程有实数解；当Δ=b²-4ac<0时，方程有虚数解.如何表示Δ<0时方程的解呢？ 提出 问题 引发 思考 思考 分析 回答 抛出问题引发思考 新知探索 当Δ=b²-4ac<0时，方程ax²+bx+c=0可化为 .配方可得 因此，当Δ=b²-4ac<0时，实系数一元二次方程 ax²+bx+c=0在复数集中的两个根可表示为 显然，x1、x2都是虚根，并且他们是一对共轭复数.容易验证，x1、x2还满足 也就是说，韦达定理在复数集C中仍然成立. 讲解 讲解说明 理解 思考 领会 引导学生经历求根公式的推导过程，体会基于方程有解的需要促使数系的扩充 典型 例题 例1 在复数集C中，求解方程x²-3x+4=0. 解 因为b²-4ac=9-16=7＜0，所以 例2  已知实系数一元二次方程x²+mx+n=0的一个根是  1+2i，求 它的另一个根和m 、n的值. 解  因为实系数一元二次方程x²+mx+n=0的一个根是虚数 1+2i，所以判别式Δ<0.于是，方程有两个互为共轭复数的根，从而方程 的另一个根是 1-2i.  由根与系数的关系可得 即  m=-(x1+x2)=-[(1+2i)+](1-2i)] =-2,  n=x1x2 = (1+2i) (1-2i) = 5. 例3 在复数集中解方程x4-16=0. 解 原方程可化为(x²+4) (x²-4)=0，因此x²+4=0或x²-4=0.由x²+4=0得x1=2i，x2=-2i； 由x²-4=0得x3=2i，x4=-2. 所以原方程的根为x1=2i，x2=-2i，x3=2i，x4=-2. 温馨提示 在复数集C中，实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式为 当Δ=b²-4ac≥0时，； 当Δ=b²-4ac<0时，. 讲解 强调 指导学习 讲解 强调 指导学习 解决 交流 主动 求解 解决 交流 主动 求解 例1直接应用 公式 例2另一种方法是将一个根代入方程整理后求解 例3注意强调解题步骤 巩固练习 练习5.3 1.在复数集中解方程x2=-9. 2.在复数集中解方程x2+4x+5=0. 3.已知实系数一元二次方程x²+bx+c=0的一个根是 3-4i，求另一个根和b、c的值. 提问 巡视 指导 思考 求解 交流 掌握学生情况查漏补缺 归纳总结 引导 提问 回忆 反思 培养 学生 总结 学习 过程 能力 布置作业 1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续探究 延伸学习 $$