2.4向量的坐标表示教学设计-2022-2023学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

授课题目 2.4向量的坐标表示 选用教材 高等教育出版社《数学》 （拓展模块一上册） 授课时长 4课时 授课类型 新授课 教学提示 本课从数轴上的点与实数一一对应、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应开始，通过探究起点在原点的向量与单位向量i，j之间的关系，把向量分解为xi和yj之和，建立了向量与点A的坐标(x,y)之间的关系，并且=xi+yj；接着利用向量的减法建立了任一向量与它的终点B与起点A的坐标的差之间的关系，=(x2- x1) i +(y2- y1) j．这两个式子表明任意一个向量都可以用一个有序实数对与之对应，这个有序实数对就是向量的坐标表示． 教学目标 知道向量坐标的合理性和应用价值，会用直角坐标表示向量；能用向量坐标进行向量的线性运算和内积运算；会用向量坐标解决有关向量大小、共线、垂直等问题；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养. 教学重点 会用向量的坐标形式进行向量运算，判定两个向量平行或垂直． 教学难点 向量内积的坐标表示的几何应用． 教学环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 情境导入 我们知道,数轴上的点与实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点P与有序实数对(x,y)是一一对应的，(x,y)是点P的坐标.平面直角坐标系中所有以原点(0,0)为起点、以点P(x,y)为终点的向量与有序实数对(x,y)也是一一对应的，如图所示． 提出 问题 引发 思考 思考 分析 回答 结合数轴和平面直角坐标系中点与坐标的关系引入新知 探索新知 2.4.1向量的坐标表示 如图所示，在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴上的两个单位向量i、j.以原点O为起点做向量，点P的坐标为(x,y).向量与两个单位向量i、j之间有什么关系呢？ 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 M、N.由于向量与i共线，并且的模等于| x |，；同理可得，.根据向量加法的平行四边形法则，有 . 进一步，对于图中所示的以A为起点的向量，记点A 与点B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则有 因此，对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x,y)，使得a= xi+yj. 我们把有序实数对称为向量a的坐标. 方便起见，常把向量a用它的坐标(x,y)表示，即a=(x,y). 温馨提示 在上图中，0=(0,0)，i=(1,0)，j=(0,1)；=(x,y)， =(x2-x1, y2-y1). 讲解 说明 展示 讲解 展示图形 引发思考 理解 思考 领会 理解 结合 图形 思考 问题 通过把几何问题转化为代数问题从而使几何问题可以通过代数运算来解决，表达更简洁，运算更便捷 典型例题 例1 已知两点A(-2,3)、B(3,1)，求向量和的坐标. 解 =(3-(-2), 1-3)= (5,-2); =(-2-3, 3-1)= (-5, 2). 例2 如图所示，单位圆与坐标轴交于A、B、C、D四点，∠AOM=45°，∠BOE=30°，∠CON=45°，求向量、、、的坐标. 解 由于点B的坐标为(0,1)，故=(0,1)；点M的坐标为 故 ； 同理可得 例3 如图所示，⏥ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,3)、(−2,1)、(−1,0),求第四个顶点D的坐标. 解 在⏥ABCD中，有=.设点D的坐标为(x,y)，则 . 又 ， 故有 . 于是， 从而 所以，点D的坐标为(3,2). 提问 引导 讲解 强调 思考 分析 解决 交流 例1为了强调强调“终点的坐标减去起点的坐标”； 例2综合单位圆和向量知识解决问题；例3综合运用平行四边形的性质、相等向量、向量的坐标表示等多个知识点，渗透了方程的思想 巩固练习 练习2.4.1 1. 判断下列说法是否正确. (1) x轴上的单位向量i的坐标为(1,0)；  (2)起点不在原点的向量不能确定它的坐标；  (3)由于x轴和y轴上的单位向量i、j的模都是1，所以它们的坐标相等；   (4)向量的坐标是唯一确定的. 2.已知点A(2,-1)，写出向量的坐标，并用x轴和y轴上的单位向量i、j线性 表示向量.  3.已知向量=-5i+2j，写出点A的坐标.  4.已知向量a=3i-j，写出向量a的坐标. 5.已知两点A与B的坐标，求和的坐标. (1) A(-1, 5)，B(-3, 1)；  (2) A(-5, 3)，B(4, 5)； (3) A(2,-6)，B(3, 5). 6.如图所示，O为菱形ABCD对角线的交点，AC=4，BD=6.以对角线CA、DB所在的直线作x、y轴，求向量、、的坐标.