2.3向量的内积教学设计-2022-2023学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

授课题目 2.3向量的内积 选用教材 高等教育出版社《数学》 （拓展模块一上册） 授课时长 2课时 授课类型 新授课 教学提示 本课通过简易推导力做功的公式，帮助学生理解两个向量是可以相乘的，并且结果是数量，顺理成章给出向量内积的概念及其运算律．内积把向量的大小和三角函数联系起来，这样为解决求线段长度、夹角等有关几何问题提供了方便，特别推出了两向量垂直的充要条件．要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又称为数量积． 教学目标 了解平面向量内积的概念、运算和性质，会计算两个向量的内积；了解平面向量内积的几何应用，会利用向量内积解决简单几何问题.通过学习，逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养. 教学重点 知道利用向量的内积判定两个非零向量是否垂直． 教学难点 向量内积公式的推导及应用． 教学环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 情境导入 物体在力的作用下，沿着力的方向移动了一段距离，就说力对物体做了功.如图所示,在拉力F的作用下，小车在水平方向上发生了位移s.设力F与位移s的夹角为θ，怎样计算力F 对小车做的功呢？ 提出 问题 引发 思考 思考 分析 回答 结合做功的实例进行引入，更加直观 探索新知 力F 在位移s的方向上的分力F1的大小为|F|= |F1|·cosθ.由于小车在分力F2方向上的位移等于0，故分力F2对小车做的功等于0，从而力F对小车所做的功就是分力F1对小车做的功，即 力F 和位移s是两个向量，它们按照上式确定了一个数量W. 为向量F 与向量s的“内积”或“数量积”. 如图所示，对于非零向量a和b，作，，称射线OA、OB所成的最小正角为向量a与b的夹角，记作<a,b>. 两个向量a、b的模与它们夹角的余弦值之积称为向量a和b的内积(或数量积)，记作a · b，即 由内积的定义可知： 零向量与任一向量的内积为0，即0 · a=0. 温馨提示 探究与发现 是否可以用向量的内积描述几何学中的垂直、长度与夹角？ 讲解 说明 展示 讲解 展示图形 引发思考 理解 思考 领会 理解 结合 图形 思考 问题 结合 力做功引出向量可以相乘并且结果是数量，几个结论引导学生进行推导，可以视作向量内积的几何应用 探究与发现深化3个性质的几何应用 典型例题 例1 已知|a|=5，|b|=6，<a,b>=60°，求a·b. 解 a·b=|a||b|cos<a·b>=5×6×cos60°=15. 例2 已知|a|=|b|=2，a·b=-2，求cos<a,b>的值. 解 cos<a,b>=. 可以验证，向量的内积满足下面的运算规律： 例3 设|a|=4，|b|=10，<a,b>=60°，问m为何值时，向量ma+b与向量2b垂直？ 解 由已知可得，a·b=|a||b|cos<a·b>=4×10×cos60°=20.因此，有 (ma+b) ·2b= ma·2b+b·2b=2ma·b+2b·b=40m+200. 要使ma+b与向量2b垂直，必须满足(ma+b) ·2b=0，即40m+200=0．于是m=-5． 因此，当m为-5时，向量ma+b与2b互相垂直. 提问 引导 讲解 强调 思考 分析 解决 交流 例1是直接应用公式；例2是公式的逆用和几何应用； 例3巩固向量垂直的充要条件的应用 巩固练习 练习2.3 1. 判断下列说法是否正确. (1)两向量夹角的范围与直线倾斜角的范围相同；  (2)两个向量的内积仍是 一个向量；  (3)两向量a与b互相垂直的充要条件是a·b =0.  2.己知向量m 与n的夹角为 45°, |m|=4，|n|=6，求m·n.  3.已知|a|=，|b|=，向量a与b的夹角为，求a·b.  4.己知|a|=|b|=2，<a,b>=30°，求 (1) b·(a+b)；  (2)(a+2b)·3a. 5.已知|a|=3，|b|=2，a·b=-3，求cos<a,b>的值. 6.已知|a|=4，a·b=2，问m 为何值时，向量ma+b与2b互相垂直？  7. 如图所示，某中等职业学校物流服务与管理专业学生进行“装卸搬运作业”，用工形叉车把重 400 N 的货物从仓库出库区搬运至 20m外的装载点.若拉力F 的大小为 150 N，方向与水平线成 45°，求拉力F所做的功.  提问 巡视 指导 思考 动手 求解 交流 及时掌握学生掌握情况查漏补缺 归纳总结 引导 提问 回忆 反思 培养 学生 总结 学习 过程 能力 布置作业 1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读