2.2向量的线性运算教学设计-2022-2023学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

授课题目 2.2向量的线性运算 选用教材 高等教育出版社《数学》 （拓展模块一上册） 授课时长 3课时 授课类型 新授课 教学提示 本课通过设置因“堵车”而改变路线的情境并提出问题：“两次位移、的结果，与原计划的位移有什么关系？”继而推出向量加法的定义，这样让学生感知向量加法的三角形法则的实际意义；再类比数的减法，利用相反向量引入向量的减法；然后以跨栏运动为背景设置情境，引入向量的数乘运算，并给出了相应的运算法则，最后推出了向量平行的充要条件． 教学目标 通过学习，理解向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义；能按要求作出两个向量的和向量、差向量；会判定两个非零向量是否平行；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养. 教学重点 向量加法的运算、减法、数乘运算及其几何意义． 教学难点 向量减法法则． 教学环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 引入 我们知道，数可以进行加法和减法运算.那么，向量之间是否也可以进行加法和减法运算呢？人们通过对位移等向量的研究发现，向量可以进行加法和减法及数乘等运算. 向量的加法运算、减法运算和数乘运算统称向量的线性运算. 提出问题 引发思考 思考 分析 讨论 类比数的运算引出新知识 情境导入 2.2.1. 向量的加法运算 家住昆明的小张打算自驾去成都旅游，出发前查看交通情况发现成昆之间的高速公路严重拥堵，只好改变出行路线，先驾车到重庆，再从重庆到成都.小张自驾旅程中的位移情况如图所示，其中，点A 、B、C分别代表昆明、重庆和成都三地. 试问，小张从点A经点B到达点C接连两次位移 、的结果，与原计划从点A直接到达点C的位移 有什么关系？ 提出 问题 引发 思考 思考 分析 回答 结合 生活常识思考，让学生感知向量加法的三角形法则的实际意义 探索新知 可以看出，这两种方式的位移结果是一样的，都是从昆明到成都.因此我们可以把位移看作两次位移与的和. 一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量a、b，在平面上任取一点A，依次做，，得到一个△ABC，称向量为向量a与向量b的和,也称 为向量a与向量b的和向量，记作a+b，如图所示. 即 a+b==+. 求两个向量的和的运算称为向量的加法. 上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法，称为向量加法的三角形法则. 当非零向量平行时，在平面上任取一点A，依次作，，得到一个新的向量，称向量为向量a与向量b的和，记作a+b . 规定： a+b=0+a=a； a+(−a)=0 . 由上面的分析可知，表示各个向量的有向线段首尾相接，由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量，这是向量加法的几何意义，如图所示 . 讲解 说明 展示 讲解 展示图形 引发思考 理解 思考 领会 理解 结合 图形 思考 问题 结合图像分析问题，逐步提升直观想象核心素养 数形结合方法分析特殊情况，渗透分类讨论思想 总结了向量加法的几何意义 典型例题 例1 如图所示，在⏥ABCD中，用向量、表示向量. 解 根据向量加法的三角形法则可知，=+. 又因为⏥ABCD中， =，所以=+. 提问 引导 讲解 强调 思考 分析 解决 交流 引出平行四边形法则 探索新知 一般地,给定两个非零向量与，以线段AB和AD为邻边作⏥ABCD，则向量就是向量与的和，这种作两个向量的和向量的方法称为向量加法的平行四边形法则． 可以验证，向量的加法满足以下运算律： a+b=b+a；(交换律) a+(b+c)= a+(b+c) .(结合律) 讲解 说明 展示 领会 理解 思考 在例题基础上学习平行四边形法则 典型例题 例2 已知向量a、b，如图(1)所示，试分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量a+b. 解 (1)运用三角形法则.如图(2)所示，在平面内任取一点O，作，，则a+b； (2)运用平行四边形法则.如图(3)所示,在平面内任取一点O，作，，以OA、OB为邻边作⏥ABCD，连接OC，则=a+b. 例3一艘渡轮要从南岸到北岸,它在静水中速度的大小为12km/h，方向正北. 若水流速度的大小为 12km/h，方向正东，求渡轮实际航行的速度. 解 如图所示，表示船在静水中的速度, 为水流速度. 以AB、AC为邻边作⏥ABCD，由向量加法的平行四边形法则可知，是船的实际航行速度. 在RtΔABC中， 因此, 船实际航行的速度大小是13km/h,方向为北偏东22°37’.