第一章 特殊的平行四边形 方法专题(二)特殊平行四边形中的动点问题-【天成导学·金典同步练】2023-2024学年九年级全一册数学课时练（广东专版）

金典同步练 双减新练案 方法专题(二) 特殊平行四边形中的动点问题   动点问题是利用点的运动特性,寻找题目中 某些量之间的关系,关键是要抓住题中的变量和 不变量,动静转化、数形结合. ❶如图,在△ABC 中,点F 是BC 的中点,点E 是线段AB 的延长线上的一动点,连接EF,过 点C 作AB 的平行线CD,与线段EF 的延长 线交于点D,连接CE,BD. (1)求证:四边形DBEC 是平行四边形; (2)若∠ABC=120°,AB=BC=4,则在点E 的运动过程中: ①当 BE= 时,四 边 形 BECD 是 矩形; ②当 BE= 时,四 边 形 BECD 是 菱形. " &# ' $% (1)证明:∵AB∥CD, ∴∠CDF=∠FEB,∠DCF=∠EBF. ∵点F 是BC 的中点, ∴四边形BECD 是平行四边形. ❷发现:如图,四边形ABCD 是正方形,M 是AB 延长线上的一点,直角三角尺的一条直角边经 过点D,且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A,B 重合),另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F. 猜想:如图1,当点E 在AB 边的中点位置时: ①通过测量DE,EF 的长度,DE 与EF 满足 的数量关系是DE =EF; ②连接点E 与AD 边的中点N,NE 与BF 满 足的数量关系是NE=BF; 验证:请证明你的上述两个猜想. 拓展:如图2,当点E 在AB 边上的任意位置 时,请你在AD 边上找到一点N,使得NE = BF,进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关 系,并说明理由. " / % & # . ' $ 
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 验证:证明:∵四边形ABCD 是正方形,点N, E 分别是AD,AB 的中点, ∴DN=EB. ∵BF 平分∠CBM,AN=AE, ∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°. ∵∠NDE+∠DEA=90°,∠BEF+∠DEA=90°, ∴∠NDE=∠BEF. ∴△DNE≌△EBF.∴DE=EF,NE=BF. 拓展:解:在DA 边上截取DN=EB(或截取 AN=AE),连接NE,点 N 就使得NE=BF 成立(如图所示).此时,DE=EF. 理由 如 下:在 DA 边 上 截 取 DN =EB,连 接NE, ∵四边形ABCD 是正方形,DN=EB, ∴AN=AE, ∴△AEN 为等腰直角三角形,∴∠ANE=45°, ∴∠DNE=180°-45°=135°. ∵BF 平分∠CBM, ∴∠EBF=90°+45°=135°,∴∠DNE=∠EBF. ∵∠NDE+∠DEA=90°,∠BEF+∠DEA= 90°,∴∠NDE=∠BEF. 在△DNE 和△EBF 中, ∠NDE=∠BEF, DN=EB, ∠DNE=∠EBF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 ∴△DNE≌△EBF(ASA),∴DE=EF. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16 数学 九年级全一册 BS ❸操作:将一把三角尺放在如图1的正方形AB- CD 中,使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑 动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC 相交于点Q. 探究: (1)如 图2,当 点 Q 在 DC 上 时,求 证:PQ =PB; (2)如图3,当点Q 在DC 延长线上时,(1)中的 结论还成立吗? 简要说明理由. 
 
 
 " # $ % " # $ % 1 2 " % # $ 2 1 解:(1)证明:如图2,过点P 作PN⊥AB 于 N,PN 交CD 于点M, 在正方形ABCD 中,AB∥CD,∠ACD=45°, ∴∠PMQ=∠PNB=∠CBN=90°, ∴四边形CBNM 是矩形,△CMP 是等腰直角 三角形,∴PM=CM=BN. ∵∠PBN+∠BPN=90°,∠BPN+∠MPQ=90°, ∴∠MPQ=∠PBN, ∴△PMQ≌△BNP(AAS),∴PQ=PB; (2)成立; 理由:如图3,过点P 作PN⊥AB 于N,PN 交CD 于点M, 在正方形ABCD 中,AB∥CD,∠ACD=45° ∴∠P