21.2.4 一次二次方程的根与系数的关系-2023-2024学年九年级数学上册随堂教学课件（人教版）

一元二次方程的根与系数的关系 21.2 解一元二次方程 第二十一章 一次二次方程 知识巩固 解下列方程 知识要点1 十字相乘法因式分解 x x a b ax+bx=(a+b)x ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式 简记： 首尾分解，交叉相乘，求和凑中. 课堂导问 一元二次方程的根与系数有什么关系 新知探究 问题1 观察下列一元二次方程的两根与系数，猜想有什么关系? 问题2 怎样证明你的猜想？ ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) 知识要点1 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2， 那么 注意：a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 典例讲解 例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 – 6x – 15 = 0； x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15. (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； x1 + x2 = − ， x1 x2 = (3) 5x – 1 = 4x2. x1 + x2 = ， x1 x2 = . 知识要点2 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 如果 x2 + px + q = 0 的两个根为 x1， x2，那么 x1+ x2= -p， x1 x2= q 例2 解下列方程： 例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 所以 x1·x2 = 2x2 = ， 即 x2 = 由于 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7. 答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7. 例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知 课堂小结 韦达定理 公式 注意 应用 一元二次方程的根与系数的关系 x1+ x2= -p， x1 x2= q a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 不解方程，求两根的和与积 已知一根，求另一个根及参数的值 不解方程，求含两根的对称式的值 常见的求值式子如下： 1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ， m = ____. 课堂练习 2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = . 1 -2 -3 设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ； (3) ； (4) . 4 1 14 12 3. 已知关于 x 的方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0. 解得 m = 16. 设另一个根为 x1，则 1 · x1 = ∴ x1 = 4. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0的两个根，且(x1 + 1)(x2 + 1) = 4. （1）求 k 的值； （2）求 (x1 - x2)2 的值. 解：(1) 根据根与系数的关系，得 ∴ (x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 = 解得 k = -7. (2) ∵ k = -7，∴ 则 5. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x -3 = 0 的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2) 解：由根与系数的关系，得 （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = （2） 设