期中专题02 空间向量与立体几何大题综合 -【备战期中必刷真题】2023-2024学年高二数学上学期期中考试真题必刷满分训练（新高考浙江专用）

期中专题02 空间向量与立体几何大题综合 备考秘籍 1. 空间中的平行关系 （1） 线线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 2. 空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 （2） 线面垂直的判定定理 一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 （4） 面面垂直的判定定理 一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） （5） 面面垂直的性质定理 两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 3. 异面直线所成角 = （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 4. 直线与平面所成角，(为平面的法向量). 5. 二面角的平面角 （，为平面，的法向量）. 6. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 真题训练 一、解答题 1．（2022·浙江·高二期中）已知四棱锥中，，，，，， (1)求证： (2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 2．（2022秋·浙江杭州·高二校考期中）如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 3．（2022秋·浙江湖州·高二统考期中）如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设． (1)用表示； (2)求； (3)求的长． 4．（2022秋·浙江温州·高二校联考期中）如图，已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥BD，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点．    (1)求证：AB⊥CD； (2)记用表示； (3)求异面直线AF和CE所成角的余弦值． 5．（2022秋·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）如图，在棱长为 的正方体中，点 ，分别为棱， 的中点． (1)求直线与直线 间的距离： (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点M为的重心，AM的延长线交BC于点N，连接．设，，． (1)用，，表示； (2)证明：． 7．（2022秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足． (1)用向量表示； (2)求． 8．（2022秋·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，为正三角形，E，F分别是棱上的点，且满足． (1)求证：； (2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 9．（2022秋·浙江金华·高二校考期中）如图，正四棱柱中，为棱的中点. (1)用向量法证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 10．（2022秋·浙江宁波·高二效实中学校考期中）如图，在正方体中，是的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值． 11．（2022秋·浙江宁波·高二效实中学校考期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，在上，且． (1)证明：平面平面； (2)设点是直线与平面的交点，求直线与平面所成角的正弦值． 12．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中学校考期中）在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是AP，BC的中点． (1)求证：∥平面PCD； (2)求二面角的正弦值． 13．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）如图，在直三棱柱中，，，，是矩形对角线的交点，为上底面的重心，为中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 14．（2022秋·浙江宁波·高二校联考期中）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 15．（2022秋·浙江宁波·高二校联考期中）如图，等腰直角的斜边为直角的直角边，是的中点，在上，将三角形沿翻折，分别连接、、，使得平面平面.已知，. (1)