专题10 比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略(华东师大版）

专题10 比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 比例的性质之等比性质】 1 【考点二 利用黄金分割求线段的长】 3 【考点三 与黄金分割有关的证明】 5 【考点四 由平行判断成比例的线段】 9 【考点五 由平行截线求相关线段的长或比值】 11 【考点六 构造平行线截线求相关线段的长或比值】 14 【过关检测】 17 【典型例题】 【考点一 比例的性质之等比性质】 例题：（2023·全国·九年级假期作业）若，求的值． 【变式训练】 1．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）已知，则 ． 2．（2023·湖南株洲·统考一模）已知，且，若，则 ． 3．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知，求的值． 【考点二 利用黄金分割求线段的长】 例题：（2023·全国·九年级假期作业）点P是长度为10的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）在长度为1的线段上有一点P．满足，则长为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·九年级假期作业）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【考点三 与黄金分割有关的证明】 例题：（2023·全国·九年级假期作业）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． (1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； (2)若，求的面积．（结果保留根号） 【变式训练】 1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形，点M在上． (1)求的长； (2)点M是的黄金分割点吗？为什么？ 2．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点． 任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点． （2）若BD＝1，则BC的长为 ． 【考点四 由平行判断成比例的线段】 例题：（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（　　）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点五 由平行截线求相关线段的长或比值】 例题：（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ． 【变式训练】 1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．    2．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则 ． 【考点六 构造平行线截线求相关线段的长或比值】 例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为 ．    【变式训练】 1．（2023·四川成都·一模）如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ． 2．（2021春·辽宁沈阳·八年级东北育才双语学校校考期中）如图，在中，，，与相交于点，则 . 【过关检测】 一、单选题 1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（    ）    A． B．2