3.1 排列与组合-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

第三章 排列、 组合与二项式定理 学 学 习 目 标 1. 理解分类加法计数原理与分步乘法计 数原理 . 2. 会用这两个基本计数原理分析和解决 一些简单的实际计数问题 ． 要 点 精 析 要点 1 分类加法计数原理 完成一件事， 如果有 n 类办法， 且第一 类办法中有 m 1 种不同的方法， 第二类办法 中有 m 2 种不同的方法……第 n 类办法中有 m n 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝ m 1 ＋m 2 ＋ … ＋m n 种不同的方法 ． 例 1 设集合 A＝{1 ， 2 ， 3 ， 4} ， m ， n∈ A ， 则方程 x 2 m ＋ y 2 n ＝1 表示焦点位于 x 轴上的 椭圆有 （ ） A． 6 个 B． 8 个 C． 12 个 D． 16 个 解析： ∵ 椭圆的焦点在 x 轴上， ∴m>n. 当 m＝4 时 ， n＝1 ， 2 ， 3 ； 当 m＝3 时 ， n＝ 1 ， 2 ； 当 m＝2 时， n＝1 ， 即所求的椭圆共有 3＋2＋1＝6 （个） ． 故选 A. 反思感悟 应用分类加法计数原理应注意如下问 题： （ 1 ） 明确题目中所指的 “完成一件事” 是什么事， 完成这件事可以有哪些方法， 怎样才算是完成这件事 ． （ 2 ） 无论哪类方案中的哪种方法都可 以独立完成这件事， 而不需要再用到其他 的方法， 即各类方法之间是互斥的、 并列 的、 独立的 ． 变式训练 1 （ 1 ） 若本例条件不变， 结论变为 “则方 程 x 2 m ＋ y 2 n ＝1 表示焦点位于 y 轴上的椭圆” 有 （ ） A． 6 个 B． 8 个 C． 12 个 D． 16 个 （ 2 ） 若本例结论不变， 条件变为 “设集 合 A＝{1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， m ， n∈A ”， 则这样 的椭圆有 （ ） A． 8 个 B． 10 个 C． 12 个 D． 16 个 第三章 排列、 组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.1 基本计数原理 1 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 2 某校高三共有三个班， 各班人数如下 表： （ 1 ） 从三个班中任选 1 名学生担任学生 会主席， 有多少种不同的选法？ （ 2 ） 从高三 （ 1 ） 班、 （ 2 ） 班男生中或 从高三 （ 3 ） 班女生中选 1 名学生担任学生 会生活部部长， 有多少种不同的选法？ 要点 2 分步乘法计数原理 完成一件事， 如果需要分成 n 个步骤， 且： 做第一步有 m 1 种不同的方法， 做第二 步有 m 2 种不同的方法……做第 n 步有 m n 种 不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m 1 × m 2 × … ×m n 种不同的方法 ． 思考 如何区分 “完成一件事” 是分 类还是分步？ 例 2 已知集合 M＝{－3 ， －2 ， －1 ， 0 ， 1 ， 2} ， P （ a ， b ） 表示平面上的点 （ a ， b∈M ） ． 问： （ 1 ） P （ a ， b ） 可表示平面上多少个不同 的点？ （ 2 ） P （ a ， b ） 可表示平面上多少个第二 象限的点？ 解： （ 1 ） 确定平面上的点 P （ a ， b ） 可分 两步完成： 第一步， 确定 a 的值， 共有 6 种方法； 第二步， 确定 b 的值， 也有 6 种方法 ． 根据分步乘法计数原理， 得 P （ a ， b ） 可 表示平面上的点的个数是 6×6＝36. （ 2 ） 确定第二象限的点 ， 可分两步 完成： 第一步， 确定 a ， 由于 a<0 ， ∴ 有 3 种 不同的确定方法； 第二步， 确定 b ， 由于 b>0 ， ∴ 有 2 种 不同的确定方法 ． 根据分步乘法计数原理， 得 P （ a ， b ） 可 表示第二象限点的个数为 3×2＝6. 反思感悟 利用分步乘法计数原理解题的一般 思路： （ 1 ） 分步： 将完成这件事的过程分成 班级 男生人数 女生人数 总人数 高三 （ 1 ） 班 30 20 50 高三 （ 2 ） 班 30 30 60 高三 （ 3 ） 班 35 20 55 2 第三章 排列、 组合与二项式定理 学 若干步 ． （ 2 ） 计数： 求出每一步中的方法数 ． （ 3 ） 结论： 将每一步中的方法数相乘 得最终结果 ． 变式训练 3 从 －1 ， 0 ， 1 ， 2 这四个数中选三个不同 的数作为函数 f （ x ） ＝ax 2 ＋bx＋c 的系数， 可组 成不同的二次函数共 个， 其中不同的 偶函数共 个 ． （用数字作答） 要点 3 两个基本计数原理的综合应用 例 3 现有 5 幅不同的国画， 2 幅不同 的油画， 7 幅不同的水彩画 ． （ 1 ）