第6章树和二叉树 6.4树和森林的遍历《算法与数据结构（C＆Java）（第2版）》 同步教学（电子工业出版社）

第六章 树和二叉树 6.1 树的定义 6.2 二叉树 6.3 遍历二叉树和线索二叉树 6.4 树的存储结构 6.5 哈夫曼树 树和森林的遍历 树的遍历 遍历——按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有结点的一个线性排列 常用方法 先根（序）遍历：先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每棵子树 后根（序）遍历：先依次后根遍历每棵子树，然后访问根结点 A B C D E F G H I J K L M N O 先序遍历： 后序遍历： A B E F I G C D H J K L N O M E I F G B C J K N O L M H D A 讨论：若采用“先转换，后遍历”方式，结果是否一样？ a b d e c 先序遍历： 后序遍历： 中序遍历： d e c b a a b d e c a b c d e b d c e a 1. 树的先序遍历二法相同； 2. 树的后序遍历相当于对应二叉树的中序遍历； 3. 树没有中序遍历，因为子树无左右之分。 结论： 先序遍历 若森林为空，返回； 访问森林中第一棵树的根结点； 先序遍历第一棵树中根结点的子树森林； 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 后序遍历 若森林为空，返回； 后序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林； 访问第一棵树的根结点； 后序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 森林的遍历 A B C D E F G H J I 讨论：若采用“先转换，后遍历”方式，结果是否相同？ 例如： A B C D E F G H J I 先序序列： 后序序列： A B C D E F G H I J B C D A F E H J I G A B C D E F G H J I 先序序列： 中序序列： A B C D E F G H I J B C D A F E H J I G 结论：森林的先序和中序遍历等同于对应的二叉树的先序和后序遍历。 一、基本术语 1．路径和路径长度 在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。 若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。 2．结点的权及带权路径长度 若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。 结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。 6.5 哈夫曼树 3．树的带权路径长度 树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为wpl= ， 其中n 为叶子结点数目，wi为第i 个叶子结点的权值，li 为第i 个叶子结点的路径长度。 二、构造哈夫曼树 1．哈夫曼树的定义 在一棵二叉树中，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman tree)。 例如: 有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个叶子结点的二叉树 a b c d 7 5 2 4 WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36 d c a b 2 4 7 5 WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46 a b c d 7 5 2 4 WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35 2．哈夫曼树的构造 假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1,w2,…,wn,则哈夫曼树的构造规则为： (1) 将w1,w2,…,wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)； (2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和； (3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林； (4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为我们所求得的哈夫曼树。 下面给出哈夫曼树的构造过程，假设给定的叶子结点的权分别为1,5,7,3，则构造哈夫曼树过程如图所示。 从图7-24可知，n 个权值构造哈夫曼树需n-1次合并，每次合并，森林中的树数目减1，最后森林中只剩下一棵树，即为我们求得的哈夫曼树。 3、哈夫曼树构造程序 一棵有n个叶子结点的Huffman树有2n-1个结点。采用顺序存储结构——一维结构数组存储结点信息。结点类型定义为： typedef struct { int weight; int parent,lchild,rchild; }JD; #define MAX 100 void huffman(int n,int w[],JD t[]) { int i,j,k,x1,x2,m1,m2; for(i=1;i<(2*n);i++) { t[i].parent=t