核心训练1 空间向量与立体几何（4大考点 知识笔记+核心训练）-【考点题型全过关】2023-2024学年高二数学期中期末综合复习专题提优训练（人教A版2019选必修第一册）

核心训练1 空间向量与立体几何 目录 考点一：空间向量及其运算 1 考点二：空间向量基本定理 6 考点三：空间向量及其运算的坐标表示 10 考点四：空间向量的应用 14 考点一：空间向量及其运算 1.空间向量的概念 ①定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． ②长度或模：向量的大小． ③表示方法： 几何表示法：空间向量用有向线段表示； 字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. ④几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2.空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 3.共线向量 ①空间两个向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. ②直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 4.共面向量 ①共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． ②向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 5.空间向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． ②范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 6.空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 7.向量a的投影 ①如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． ②如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 一、单选题 1．（2023春·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考期中）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第二中学月考）下列命题中正确的是（    ） A．若，，，是空间任意四点，则有 B．是，共线的充要条件 C．若，共线，则 D．对空间任意一点不共线的三点，，，若（其中，，），则，，，四点共面 4．（2023春·江苏徐州·高二徐州高级中学校考阶段练习）已知四面体，是的中点，连接，则＝（    ） A． B． C． D． 5．（2022秋·山东济南·高二校考期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 6．（2022秋·河南周口·高二月考）在正方体中，E为中点，，使得，则（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 7．（2022秋·湖南·高二校联考期中）如图，平面内的小方格均为边长是1的正方形，A，B，C，D，E，F均为正方形的顶点，