【拓展】全等三角形模型：旋转模型-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

【拓展】 旋转模型 模型讲解 “手拉手”旋转全等三角形模型 模型特点： ①两个三角形全等，其中一个点是公共点。 ②通过连接旋转之后的对应点得到新的全等三角形 条件：AC=AB，∠BAC=∠EAD，AE=AD. 结论：①△ACE≌△ABD (SAS) ② CE=BD（右手拉右手等于左手拉左手） ③直线BD与CE的夹角等于∠BAC. 强调：其特征是：“共点，等角，等线段.” 其本质：旋转变换（全等变换）。 专题练习 一、单选题 1．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（  ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 3．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 4．已知如图，BD为ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上一点，BE=BA，过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①EBC可由ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD=180º；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 5．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米． 6．如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ． 三、解答题 7．如图，中，，中，，且，当把两个三角形如图①放置时，有．（不需证明） （1）当把绕点旋转到图②③④的情况，其他条件不变，和还相等吗？请在图②③中选择一种情况进行证明； （2）若图④中和交于点，连接，求证：平分． 8．综合与实践 特例研究： 将矩形和按如图1放置，已知，连接． 如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__ ；直线与直线之间的位置关系是_ ； 拓广探索： 图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由． 9．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF． （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． （3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 10．【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 $$ 【拓展】 旋转模型 模型讲解 “手拉手”旋转全等三角形模型 模型特点： ①两个三角形全等，其中一个点是公共点。 ②通过连接旋转之后的对应点得到新的全等三角形 条件：AC=AB，∠BAC=∠EAD，AE=AD. 结论：①△ACE≌△ABD (SAS) ② CE=BD（右手拉右手等于左手拉左手） ③直线BD与CE的夹角等于∠BAC. 强调：其特征是：“共点，等角，等线段.” 其本质：旋转变换（全等变换）。 专题练习 一、单选题 1．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出OC=6，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，再根据旋转的性质得OD=OP，∠POD=60°，根据三角形内角和和平角定义得∠1＋∠2＋∠A=180°，∠1＋∠3＋∠POD=180°，利用等量代换可得∠2=∠3，然后根据“AAS”判断△AOP≌