【拓展】全等三角形模型：垂线模型-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

【拓展】 垂线模型 模型讲解 同侧型 异侧型 模型特点： ①在某一条直线上有三个角相等。 ②已知任意一条线段相等。 解法： 其中一组角为模型已知的等角，那么另外一组角就是利用“三角形内角和或者外角等于不相邻两个内角和”或者“平角直角定义”等进行导角。从而构造“AAS”或者“ASA”型全等。 专题练习 一、单选题 1．如图，中， BP平分∠ABC， AP⊥BP于P，连接PC，若的面积为3.5cm2，的面积为4.5cm2，则的面积为(      ). A．0.25cm2 B．0.5 cm2 C．1cm2 D．1.5cm2 2．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   ) A．50 B．44 C．38 D．32 二、填空题 3．如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接为边上的高线，延长交于点N，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 (填序号)． 4．已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是 . 三、解答题 5．如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 6．如图，在中，，．过点的射线交边于点，于点，于点，，． （1）求证：； （2）求的长． 7．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 8．平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 9．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 10．【感知】如图①，点在正方形的边上，⊥于点，⊥于点，可知．（不要求证明） 【拓展】如图②，点、在∠的边上、上，点、在∠内部的射线上，∠1、∠2分别是、的外角，已知＝，∠1＝∠2＝∠．求证：． 【应用】如图③，在等腰三角形中，＝，＞，点在边上，＝2，点、在线段上，∠1＝∠2＝∠，若的面积为15，则与的面积之和为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 $$ 【拓展】 垂线模型 模型讲解 同侧型 异侧型 模型特点： ①在某一条直线上有三个角相等。 ②已知任意一条线段相等。 解法： 其中一组角为模型已知的等角，那么另外一组角就是利用“三角形内角和或者外角等于不相邻两个内角和”或者“平角直角定义”等进行导角。从而构造“AAS”或者“ASA”型全等。 专题练习 一、单选题 1．如图，中， BP平分∠ABC， AP⊥BP于P，连接PC，若的面积为3.5cm2，的面积为4.5cm2，则的面积为(     ). A．0.25cm2 B．0.5 cm2 C．1cm2 D．1.5cm2 【答案】C 【分析】延长AP，交BC于点D，则可证△ABP≌△DBP，可得AP=DP，△ABP与△DBP的面积相等，则△PCD与△ACP的面积相等，然后得到△PAC的面积. 【详解】解：如图，延长AP，交BC于点D， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠DBP， ∵BP=BP，∠APB=∠DPB=90°， ∴△ABP≌△DBP， ∴AP=DP，， ∵△PCD与△ACP底边相等，高相同， ∴ ∵， ∴； 故选择：C. 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 2．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   ) A．50 B．44 C．38 D．32 【答案】D 【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，AF=