【拓展】全等三角形模型：倍长中线法-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

【拓展】 倍长中线法 模型讲解 模型特点： ①图中有一个三角形△ABC及它某边上的中线AD（类似中线DE、DF） ②图中没有较明显的全等三角形 解法： ①延中线或类中线，延长的长度和这条中线或类中线长度一致，简称为“倍长中线” ②联结延长的线段端点和三角形的某个端点，构成三角形 ③通过SAS来证明构造的三角形和原三角形中某个三角形全等 专题练习 一、单选题 1．如图，已知是的平分线，，若的面积为，则的面积（   ） A． B． C． D． 2．已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为 ．    5．如图，是的中线，若，则的度数为 ． 三、解答题 6．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线． （1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ； （2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：； （3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明． 7．规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点P，连接，请证明． 8．如图，在中，，是边上的中线，延长至，使，求证：. 9．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：． 【理解与应用】 （2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________． （3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 $$ 【拓展】 倍长中线法 模型讲解 模型特点： ①图中有一个三角形△ABC及它某边上的中线AD（类似中线DE、DF） ②图中没有较明显的全等三角形 解法： ①延中线或类中线，延长的长度和这条中线或类中线长度一致，简称为“倍长中线” ②联结延长的线段端点和三角形的某个端点，构成三角形 ③通过SAS来证明构造的三角形和原三角形中某个三角形全等 专题练习 一、单选题 1．如图，已知是的平分线，，若的面积为，则的面积（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长AP交BC于点C，根据题意，通过ASA判定，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】解：延长AP交BC于点C，如图所示， ， ∵， ∴， ∵BP是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∴， ∵和同底等高， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定． 2．已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至E，使，连接，证明，得到，然后利用三角形的三边关系求解． 【详解】解：延长至E，使，连接， ∵， ∵是中边上的中线， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴在中：， 即， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边形关系．熟练掌握倍长中线法，构造全等三角形，以及三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键． 3．如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，从而得到的取值范围． 【详解】如图，延长AD至点E，使得DE＝AD， ∵是边上的中线， ∴， 在△ABD和△CDE中， ， ∴△ABD△CDE（SAS）， ∴AB＝CE=5，AD＝DE， ∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE， ∴4＜AE＜14， ∴2＜AD＜7． 故选：C． 【点睛】本题主要考查倍长中线法解题，能够做出辅助线证出三角形全等再结合三角形三边关系是解题关键． 二、填空题 4．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为 ．    【答案】； 【分析】延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算． 【详解】    如图：延长至使，连接 在和中： ∴ ∴