专题21.6 反比例函数的综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题21.6 反比例函数的综合 【典例1】如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．    （1）求反比例函数的解析式和点的坐标． （2）点为第一象限内反比例函数图像上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，如果的面积为，求点的坐标． （3）点在轴上，反比例函数图像上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）将代入，可得点坐标，将代入，可得的值，再根据点、关于原点对称，得出点的坐标； （2）设，则，根据，即可得出的方程； （3）分或，分别根据型全等，表示出点坐标，从而解决问题． 【解题过程】 （1）解：将代入，得， 解得：， ∴， 将代入，得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点和点关于原点对称， ∴． （2）如图，过点作轴于点，交于， 设，则， ∵， ∴， 当时， 解得：或（负值不符合题意，舍去） 当时， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴或， ∴点的坐标为或． （3）存在，当时， 当点在轴正半轴时， 过点作轴，过点作于点， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 设， ∵ ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当点在轴负半轴时，如图， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 同样可得， ∴，， 设， ∵ ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 当点在第一象限时， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 同样可得， ∴，， 设， ∵ ∴， 解得：， ∴； 当点在第三象限时， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 同样可得， ∴，， 设， ∵ ∴， 解得：， ∴， 综上所述，点的坐标为或或． 1．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，点B的坐标为． （1）求此菱形的边长； （2）若反比例函数的图象经过点A，并且与BC边相交于点D，求点D的坐标． 2．（2023·湖南株洲·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点分别是反函数、一次函数的交点，已知．    （1）求出的值，以及一次函数的表达式； （2）在线段上取一点， ①若使点是线段的三等分点，求出点的坐标； ②过点作直线平行轴，交反比例函数于点，连接，记的面积为，求最大值． 3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，B两点，连接． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）若点M在第一象限内反比例函数图像上，点N在x轴上方且在一次函数图像上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 4．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考一模）如图1，在平面直角坐标系中，点C在x轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数经过点，反比例函数经过点B，且交边于点D，连接． （1）求直线的表达式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数于点N．在点P运动过程中，直线上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求此反比例函数的表达式及点的坐标； （2）在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． （3）为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，分别过点作轴、轴的垂线，两垂线交于点，函数的图像与线段交于点交于点．    （1）求线段的长度； （2）试判断点是否在函数的图像上，并说明理由； （3）已知，点在轴上，点在函数的图像上，当四边形为平行四边形时，求点的坐标． 7．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点、点，与正比例函数的图像交于点、点，设点、的横坐标分别为，()．    （1）如图1，若点坐标为． ①求，的值； ②若点的横坐标为，连接，求的面积． （2）如图2，依次连接，，，，若四边形为矩形，求的值． 8．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接 （1）求k，b的值. （2）当的面积为3时，求点P的坐标. （3）设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时