第一单元 长方体和正方体（思维导图+重难点梳理+典例解析+跟踪练习）-六年级上册数学单元总结归纳知识讲义（苏教版）

第一单元 长方体和正方体 思维导图 重难点梳理 典例解析 典例1（易错题） ①判断：只要是6个相等的正方形不管怎样排列都能围成一个正方体。（ ） 解析 6个正方形组成的平面图形有若干种，并不是每一种都能够围成正方体，要根据具体图形实际分析。可以画出图形动手剪一剪、围一围；也可以在图中标出相应的面，来判断是否能够围成正方体。 解答 × ②判断：长方体的6个面都是长方形。（ ） 解析 长方体的6个面都是长方形。但在特殊情况下，长方体有两个相对面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形。 解答 × ③判断：长方体最多有4条棱长相等。（ ） 解析 一般情况下，长方体最队友4条棱长相等，但在特殊情况下，当长方体有两个相对面是正方形时。此时，长方体中有8条棱长相等。 解答 × ④判断：一个正方体，棱长缩小到原来的，表面积也缩小了。（ ） 解析 正方体的表面积=棱长×棱长×6，当棱长缩小到原来的时，它的表面积就缩小到原来的。同理，如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，则它的表面积扩大到原来的n²倍。 解答 × ⑤判断：一瓶矿泉水净含量：500ml,也可以理解为这瓶矿泉水的体积是500cm³。（ ） 解析 “净含量：500ml”是指矿泉水瓶里面水的体积是500ml，这瓶矿泉水的体积除了谁的体积外，还包括矿泉水瓶的体积，所以，这瓶矿泉水的体积要大于500cm³。 解答 × ⑥判断：如果两个物体的表面积相同，那么这两个物体的体积也相同。（ ） 解析 物体的表面积是物体每个面的面积和，体积是物体所占空间的大小，两个物体表面积相同，其体积不一定相同，两者概念要弄清楚。 解答 × ⑦判断：两个体积单位之间的进率是1000。（ ） 解析 只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，不相邻的两个体积单位之间的进率不是1000。关键词“相邻”不能丢掉。 解答 × 典例2（拼搭长方体或正方体后表面积变化问题） 填空：把两个相同大小的小正方体拼成一个长方体，拼成后的长方体的表面积（ ）两个小正方体的表面积和。（括号里填“＞”“＜”或“=”） 解析 可以利用实物拼组一下。当两个小正方体拼组称一个长方体后，其表面积减少了两个面，所以，拼组后的长方体的表面积要小于两个小正方体的表面积之和。 解答 ＜ 典例3 （与棱长相关的切割问题） 把一个长24厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体切割成3个完全相同的长方体，切割后的棱长总和与原来的长方体棱长总和相比，是增加了还是减少了？增加（减少）了多少厘米？ 解析 可通过图像来进行判断 把长方体切割成3个小长方体后，观察可知增加了4个侧面，即棱长增加了，棱长总和也增加了。 解答 （6+8）×2×4=28×4=112（厘米） 答：切割后的棱长总和与原来的长方体棱长总和相比增加了， 增加了112厘米。 典例4（不变量求棱长相关问题） 一根铁丝围成一个边长为12厘米的正方体，如果用这根铁丝围成一个长方体，其长为15厘米，高为9厘米，求这个长方体的宽是多少？ 解析 这根铁丝围成正方体或长方体其长度是不变的，即正方体的棱长总和=长方体的棱长总和 正方体的棱长总和=棱长×12 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 根据上方公式进行推导求解。 解答 12×12=144（厘米） 144÷4=36（厘米） 36-15-9=12（厘米） 答：长方体的宽是12厘米。 典例5 （彩带捆扎问题） 捆扎一个礼盒用了120厘米的彩带，如图所示，求打结处用了多少厘米的彩带？ 解析 观察图可知，捆扎彩带的长度包括2个礼盒的长+2个礼盒的宽+4个礼盒的高+打结。 解答 30×2+10×2+5×4=100（厘米）120-100=20（厘米） 答：打结处用了20厘米的彩带。 典例6 （表面积公式解决实际问题） 定做一个通风管，长3米，宽8分米，高6分米。做这个通风管至少需要多少平方分米的铁皮？ 解析 解题的关键在通风管没有左右两个面，即需要多少铁皮就是求长方体四个侧面的面积和。注意统一单位。 除了通风管还有游泳池、鱼缸、粉刷墙壁等，在解决实际问题时，一定要结合实际考虑所求的表面积有哪几个面。 解答 3米=30分米 （30×8+30×6）×2=840（dm²） 答：做这个通风管至少需要840平方分米的铁皮。 典例7 （排水法求体积问题） 求下图中大球和小球的体积分别是多少？ 解析 球投入容器后，排除来的水的体积就是水杯中球的体积。 由图2可知：1大球+1小球=18ml ① 由图3可知：1大球+4小球=36ml ② ②-①可得3小球的体积，求出1个小球的体积带入①可求得一大球的体积。 解答 小球：36-18=18（ml） 18÷3=6（ml） 大球：18-6=12（ml） 答：小球的体积是6ml,大球的体积是12ml。 典例